عزم القوة
1. نبدأ ببيان المشكلة: لدينا القوة \( \mathbf{F} = 3x + y \) مؤثرة عند النقطة \( B(\cos 0, \sin 5) \) ونريد حساب متجه عزم القوة \( \mathbf{M} \) حول النقطة \( A(-\cos 0, \sin 4) \) حيث \( \theta \) زاوية حادة.
2. صيغة عزم القوة حول نقطة هي:
$$\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$$
حيث \( \mathbf{r} \) هو متجه الموضع من النقطة \( A \) إلى النقطة \( B \).
3. نحسب متجه الموضع \( \mathbf{r} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\):
$$x_B = \cos 0 = 1, \quad y_B = \sin 5$$
$$x_A = -\cos 0 = -1, \quad y_A = \sin 4$$
إذاً:
$$\mathbf{r} = (1 - (-1), \sin 5 - \sin 4) = (2, \sin 5 - \sin 4)$$
4. القوة \( \mathbf{F} = 3x + y \) غير واضحة كمتجه، نفترض أنها تمثل متجه القوة:
$$\mathbf{F} = (3x, y)$$
عند النقطة \( B \) حيث \( x = 1, y = \sin 5 \)، إذن:
$$\mathbf{F} = (3 \times 1, \sin 5) = (3, \sin 5)$$
5. نحسب عزم القوة:
$$\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = r_x F_y - r_y F_x$$
حيث:
$$r_x = 2, \quad r_y = \sin 5 - \sin 4$$
$$F_x = 3, \quad F_y = \sin 5$$
6. بالتالي:
$$\mathbf{M} = 2 \times \sin 5 - (\sin 5 - \sin 4) \times 3 = 2\sin 5 - 3\sin 5 + 3\sin 4 = -\sin 5 + 3\sin 4$$
7. بما أن \( \theta \) زاوية حادة، فإن \( \sin 4 \) و \( \sin 5 \) موجبتان، لذا:
$$\mathbf{M} = 3\sin 4 - \sin 5$$
8. بناءً على الخيارات المعطاة، المتجه الأقرب هو \( 4\mathbf{a} \) أو \( -4\mathbf{a} \) حسب إشارة العزم.
النتيجة النهائية:
$$\boxed{\mathbf{M} = 3\sin 4 - \sin 5}$$