1. **مشكلة:** لدينا كرة أُطلقت رأسياً إلى أعلى من قمة برج، والسرعة اللحظية للكرة معطاة بالعلاقة $v(t) = -10t + 40$ متر/ثانية. 2. **المطلوب:** إيجاد الزمن الذي تستغرقه الكرة للوصول إلى سطح الأرض. 3. **الخطوة الأولى:** نحتاج لإيجاد معادلة الارتفاع $s(t)$ للكرة. السرعة هي مشتقة الارتفاع، أي: $$v(t) = \frac{ds}{dt} = -10t + 40$$ 4. **الخطوة الثانية:** لإيجاد $s(t)$، نُكامل السرعة بالنسبة للزمن: $$s(t) = \int (-10t + 40) dt = -5t^2 + 40t + C$$ 5. **الخطوة الثالثة:** قيمة $C$ تمثل ارتفاع البرج عند $t=0$. لنفترض أن ارتفاع البرج هو $h$، إذن: $$s(0) = h = C$$ 6. **الخطوة الرابعة:** الكرة تبدأ من قمة البرج، وعندما تصل إلى سطح الأرض يكون ارتفاعها صفر، أي: $$s(t) = 0 = -5t^2 + 40t + h$$ 7. **الخطوة الخامسة:** نحتاج قيمة $h$، لكن لم تُعطى مباشرة. لكن يمكننا إيجاد $h$ من خلال السرعة الابتدائية: عند $t=0$, السرعة $v(0) = 40$ م/ث، وهذا يعني أن الكرة أُطلقت بسرعة 40 م/ث من ارتفاع $h$. 8. **الخطوة السادسة:** نستخدم معادلة الحركة الرأسية: $$s(t) = h + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$$ حيث $v_0 = 40$ م/ث و $g = 10$ م/ث² (تقريباً). 9. **الخطوة السابعة:** من المعادلة السابقة: $$s(t) = h + 40t - 5t^2$$ 10. **الخطوة الثامنة:** عند $t=0$, $s(0) = h$, وهذا يتطابق مع $C = h$. 11. **الخطوة التاسعة:** نريد الزمن $t$ عندما تصل الكرة إلى الأرض، أي عندما $s(t) = 0$: $$0 = h + 40t - 5t^2$$ 12. **الخطوة العاشرة:** نحتاج $h$، يمكننا إيجاد $h$ من خلال السرعة المعطاة: السرعة معطاة كدالة زمنية $v(t) = -10t + 40$، وهي مشتقة الارتفاع. 13. **الخطوة الحادية عشر:** عند أعلى نقطة، السرعة تساوي صفر: $$0 = -10t + 40 \Rightarrow t = 4 \text{ ثواني}$$ 14. **الخطوة الثانية عشر:** نحسب ارتفاع أعلى نقطة: $$s(4) = h + 40(4) - 5(4)^2 = h + 160 - 80 = h + 80$$ 15. **الخطوة الثالثة عشر:** بما أن الكرة تبدأ من قمة البرج، فإن $h$ هو ارتفاع البرج، والكرة ترتفع 80 متر فوق البرج. 16. **الخطوة الرابعة عشر:** عند $t=0$, $s(0) = h$, وعند $t=4$, $s(4) = h + 80$. 17. **الخطوة الخامسة عشر:** نريد الزمن $T$ عندما تصل الكرة إلى الأرض، أي: $$0 = h + 40T - 5T^2$$ 18. **الخطوة السادسة عشر:** نستخدم $h$ كمتغير مؤقت، لكن نعلم أن الكرة تبدأ من $h$ وترتفع 80 متر ثم تنزل. 19. **الخطوة السابعة عشر:** نستخدم معادلة الحركة من أعلى نقطة: الكرة تسقط من ارتفاع $h + 80$ متر بسرعة ابتدائية صفر. 20. **الخطوة الثامنة عشر:** زمن السقوط من أعلى نقطة: $$t_{fall} = \sqrt{\frac{2 \times 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \text{ ثواني}$$ 21. **الخطوة التاسعة عشر:** الزمن الكلي للوصول إلى الأرض هو زمن الصعود + زمن السقوط: $$T = 4 + 4 = 8 \text{ ثواني}$$ **النتيجة النهائية:** الزمن الذي تستغرقه الكرة للوصول إلى سطح الأرض هو 8 ثواني. **الإجابة الصحيحة:** b) 8s