سرعت برگشت
1. مسئله: فاصله مستقیم دو شهر A و B برابر 240 کیلومتر است. راننده در مسیر رفت با سرعتی 20 کیلومتر بر ساعت بیشتر از مسیر برگشت حرکت میکند، اما در مسیر رفت 30 دقیقه توقف دارد. در مسیر برگشت راننده 25 درصد بیشتر از مسیر طی میکند و زمان برگشت 30 دقیقه بیشتر از زمان رفت است. سرعت راننده در مسیر برگشت را بیابید.
2. تعریف متغیرها:
- سرعت برگشت: $v$ کیلومتر بر ساعت
- سرعت رفت: $v + 20$
- فاصله رفت: 240 کیلومتر
- فاصله برگشت: $1.25 \times 240 = 300$ کیلومتر
3. زمانها را بر حسب سرعتها بنویسیم:
- زمان رفت بدون توقف: $\frac{240}{v+20}$ ساعت
- زمان رفت با توقف: $\frac{240}{v+20} + 0.5$ ساعت (30 دقیقه = 0.5 ساعت)
- زمان برگشت: $\frac{300}{v}$ ساعت
4. طبق مسئله، زمان برگشت 30 دقیقه (0.5 ساعت) بیشتر از زمان رفت است:
$$\frac{300}{v} = \frac{240}{v+20} + 0.5 + 0.5$$
چون 30 دقیقه توقف در رفت داریم و زمان برگشت 30 دقیقه بیشتر از زمان رفت است، پس کل زمان رفت شامل توقف است و زمان برگشت 0.5 ساعت بیشتر از کل زمان رفت است.
5. معادله را ساده میکنیم:
$$\frac{300}{v} = \frac{240}{v+20} + 1$$
6. ضرب در $v(v+20)$ برای حذف مخرجها:
$$300(v+20) = 240v + v(v+20)$$
7. باز کردن پرانتزها:
$$300v + 6000 = 240v + v^2 + 20v$$
8. انتقال همه جملات به یک طرف:
$$0 = v^2 + 20v + 240v - 300v - 6000$$
$$0 = v^2 - 40v - 6000$$
9. حل معادله درجه دوم:
$$v = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 1 \times (-6000)}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 24000}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{25600}}{2}$$
10. محاسبه ریشه:
$$\sqrt{25600} = 160$$
11. دو جواب داریم:
$$v_1 = \frac{40 + 160}{2} = 100$$
$$v_2 = \frac{40 - 160}{2} = -60$$ (سرعت منفی معنی ندارد)
12. پس سرعت برگشت $v = 100$ کیلومتر بر ساعت است.
پاسخ نهایی: گزینه ۳) 100