1. ابتدا تابع $f(x)$ را به شکل ساده‌تر بازنویسی می‌کنیم: $$f(x) = \sqrt{-x + x^2 - 2x + 3} = \sqrt{x^2 - 3x + 3}$$ 2. دامنه تعریف تابع $f(x)$ شامل مقادیری از $x$ است که داخل رادیکال نامنفی باشد: $$x^2 - 3x + 3 \geq 0$$ برای این منظور دلتا را محاسبه می‌کنیم: $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 9 - 12 = -3 < 0$$ از آنجا که دلتا منفی است، عبارت $x^2 - 3x + 3$ همیشه مثبت است و دامنه $f$ تمام اعداد حقیقی است. 3. حال دامنه تعریف تابع $g(x)$ را بررسی می‌کنیم که برابر است با دامنه مقادیر $x$ برای $g(x) = \sqrt{f(3x-1)-f(1-3x)}$ که باید داخل رادیکال نامنفی باشد: $$f(3x-1) - f(1-3x) \geq 0$$ 4. عبارت داخل $f$ را بررسی می‌کنیم: $$f(3x -1) = \sqrt{(3x-1)^2 - 3(3x-1) + 3}$$ $$= \sqrt{9x^2 - 6x + 1 - 9x + 3 + 3} = \sqrt{9x^2 - 15x + 7}$$ $$f(1 - 3x) = \sqrt{(1-3x)^2 - 3(1-3x) + 3}$$ $$= \sqrt{1 - 6x + 9x^2 - 3 + 9x + 3} = \sqrt{9x^2 + 3x + 1}$$ 5. شرط دامنه $g(x)$: $$\sqrt{9x^2 - 15x + 7} - \sqrt{9x^2 + 3x + 1} \geq 0$$ 6. برای ساده‌سازی، نامنفی بودن عبارت را به $9x^2 - 15x + 7 \geq 9x^2 + 3x + 1$ تبدیل می‌کنیم (دقت داشته باشید که انتقال مربع‌ها باید مراقب باشد، اما برای بررسی دامنه ابتدا فرض می‌کنیم که عبارت اول بزرگ‌تر یا مساوی است و هر دو زیر رادیکال مثبت‌اند): $$9x^2 - 15x + 7 \geq 9x^2 + 3x + 1$$ $$-15x + 7 \geq 3x + 1$$ $$-15x - 3x \geq 1 - 7$$ $$-18x \geq -6$$ $$x \leq \frac{1}{3}$$ 7. همچنین از شرط درونی رادیکال‌ها دامنه $x$ باید طوری باشد که هر دو عبارت زیر رادیکال غیرمنفی باشند: $$9x^2 - 15x + 7 \geq 0$$ $$9x^2 + 3x + 1 \geq 0$$ که هر دو عبارت دترمینانشان منفی است و بنابراین همیشه مثبت‌اند. 8. پس دامنه $g$ برابر است با: $$(-\infty, \frac{1}{3}]$$ 9. بنابراین $a = -\infty$ نمی‌تواند عددی باشد و ما فرض می‌کنیم دامنه به شکل بسته یا نیمه‌بسته‌ی سوال منظور از بازه هست که حد پایین دامنه عددی است. اینجا دامنه برابر: $$[a, b] = (-\infty, \frac{1}{3}]$$ پس $a$ بی‌نهایت منفی و $b = \frac{1}{3}$ 10. اما به نظر می‌رسد سوال دامنه تعریف تابع $g(x)$ را برحسب بازه $[a,b]$ می‌خواهد؛ با در نظر گرفتن تعریف ریاضی، ممکن است منظور از دامنه، محدوده‌ای محدود باشد جایی که عبارت داخل رادیکال اصلی معتبر باشد. برای اطمینان بررسی می‌کنیم شرایط اولیه روی دامنه 11. از مرحله (6) برای قرار دادن شرط مساوی یا بزرگ‌تر مساوی بودن، گرفتیم $x \leq \frac{1}{3}$ و چون محدودیت دیگری نیست دامنه $g$ برابر است با $$[a,b] = (-\infty, \frac{1}{3}]$$ 12. شرط سوال مقدار $4a - 5b$ را می‌خواهد: اگر این دامنه معتبر یعنی $a \to -\infty$ نامحدود باشد، مقدار $4a - 5b$ تعریف نشده است. 13. احتمالاً چون سوال یک بازه محدود $[a,b]$ می‌خواهد، باید بررسی کنیم که اصلاً مشکلی با محاسبات پیشین هست یا خیر. توجه کنید تنها شرط اصلی دامنه $g$ شرط غیر منفی بودن زیر رادیکال است: $$f(3x - 1) - f(1-3x) \geq 0$$ و $f$ همواره مثبت است بنابراین از بررسی‌های قبل دامنه نیم‌خط $(-\infty, 1/3]$ است. 14. نتیجه: دامنه $g(x)$ برابر است با $(-\infty, \frac{1}{3}]$ بنابراین $a = -\infty$ و $b = \frac{1}{3}$ 15. بنابراین مقدار $4a - 5b$ نامعین (ناموجود) است، زیرا $a$ بی‌نهایت منفی است. اگر منظور بازه محدود و مشخصی باشد که روی کاغذ تعریف شده، لطفاً قسمت مسئله را اصلاح کنید تا دامنه‌های محدود مترشح شوند. **پاسخ نهایی:** مقدار $4a - 5b$ تعریف‌نشده است به دلیل نامحدود بودن دامنه به سمت منفی.