1. مسئله ۲۶: بررسی ویژگی‌های تابع $f(x) = x + \lfloor x \rfloor$ که در آن $\lfloor x \rfloor$ نماد قسمت صحیح است. 2. دامنه تابع $D_f$ برابر همه اعداد حقیقی است چون جمع دو تابع با دامنه $\mathbb{R}$ است. 3. بررسی صعودی بودن: تابع $x$ صعودی است و $\lfloor x \rfloor$ نیز به صورت پله‌ای و غیرکاهشی است، بنابراین $f(x)$ اکیداً صعودی نیست چون در بازه‌های بین اعداد صحیح ثابت است. 4. بررسی برد تابع $R_f$: چون $x$ و $\lfloor x \rfloor$ هر دو مقادیر حقیقی می‌گیرند و جمع آن‌ها هر عدد حقیقی را می‌تواند بگیرد، برد تابع $\mathbb{R}$ است. 5. بررسی یکنواخت بودن: تابع $f$ یکنواخت نیست چون در نقاط صحیح پرش دارد. نتیجه: گزینه ۱ نادرست است (اکیداً صعودی نیست). --- 6. مسئله ۲۷: داده شده $f(x) = x^2 + 2x$ و رابطه $f(1 - \frac{x}{3}) = x^3 - 2f(2x - 3) + 1$. 7. هدف یافتن رأس سهمی $-2f(2x - 3)$ است. 8. ابتدا تابع $f(2x - 3)$ را محاسبه می‌کنیم: $$f(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 2(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9 + 4x - 6 = 4x^2 - 8x + 3$$ 9. سپس تابع $-2f(2x - 3)$ می‌شود: $$-2(4x^2 - 8x + 3) = -8x^2 + 16x - 6$$ 10. رأس سهمی $y = ax^2 + bx + c$ در نقطه $x = -\frac{b}{2a}$ است. 11. برای تابع $-8x^2 + 16x - 6$ داریم: $$a = -8, \quad b = 16$$ $$x_{vertex} = -\frac{16}{2 \times (-8)} = -\frac{16}{-16} = 1$$ 12. مقدار تابع در رأس: $$y = -8(1)^2 + 16(1) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$$ 13. بنابراین رأس سهمی در نقطه $(1, 2)$ است که در گزینه‌ها نیست. احتمالاً باید دقت کنیم که محور $x$ در سوال به صورت $2x - 3$ است. 14. برای یافتن نقطه روی محور اصلی، معادله $2x - 3 = t$ را در نظر می‌گیریم و $x = \frac{t + 3}{2}$. 15. رأس سهمی $f(t)$ در $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1$ است چون $f(t) = t^2 + 2t$. 16. بنابراین رأس $f(2x - 3)$ در $2x - 3 = -1$ است: $$2x = 2 \Rightarrow x = 1$$ 17. رأس $-2f(2x - 3)$ همان $x=1$ است و مقدار آن: $$-2f(-1) = -2((-1)^2 + 2(-1)) = -2(1 - 2) = -2(-1) = 2$$ 18. پس رأس سهمی $-2f(2x - 3)$ در نقطه $(1, 2)$ است که با گزینه‌ها مطابقت ندارد. احتمالاً گزینه‌ها اشتباه یا سوال نیاز به بازبینی دارد. --- 19. مسئله ۲۸: بررسی کدام تابع نمودار $f$ را قطع نمی‌کند با توجه به نمودار داده شده. 20. نمودار $f$ از ربع سوم شروع شده و از مبدأ عبور می‌کند و به سمت ربع اول می‌رود. 21. گزینه‌ها: - $1 - f(x)$: این تابع نمودار $f$ را به سمت بالا جابه‌جا می‌کند و احتمالاً قطع می‌کند. - $4 + -f(x)$: این تابع معکوس $f$ را به بالا جابه‌جا می‌کند، احتمال قطع وجود دارد. - $f(-x)$: نمودار $f$ نسبت به محور $y$ قرینه شده است، احتمال قطع وجود دارد. - $-f(-x)$: نمودار $f$ نسبت به هر دو محور $x$ و $y$ قرینه شده و علامت منفی دارد، احتمالاً نمودار اصلی را قطع نمی‌کند. 22. با توجه به شکل و تقارن، گزینه ۴ یعنی $-f(-x)$ نمودار $f$ را قطع نمی‌کند. --- پاسخ نهایی: - سوال ۲۶: گزینه ۱ نادرست است. - سوال ۲۷: رأس سهمی $-2f(2x - 3)$ در نقطه $(1, 2)$ است (هیچ گزینه‌ای مطابقت ندارد). - سوال ۲۸: گزینه ۴ نمودار $f$ را قطع نمی‌کند.