1. **مقارنة العددين $2\sqrt{7}$ و $7\sqrt{2}$** - نبدأ بحساب قيم كل عدد تقريبا: $$2\sqrt{7} = 2 \times 2.6458 = 5.2916$$ $$7\sqrt{2} = 7 \times 1.4142 = 9.8994$$ - إذن، $2\sqrt{7} < 7\sqrt{2}$. 2. **مقارنة العددين $3 + 2\sqrt{7}$ و $3 + 7\sqrt{2}$** - نضيف 3 إلى كل عدد: $$3 + 2\sqrt{7} = 3 + 5.2916 = 8.2916$$ $$3 + 7\sqrt{2} = 3 + 9.8994 = 12.8994$$ - إذن، $3 + 2\sqrt{7} < 3 + 7\sqrt{2}$. 3. **التأطير للعددين الحقيقيين $x$ و $y$ حيث $-7 \leq y \leq -4$ و $3 \leq x \leq 6$** (1ن) تأطير $y^7$: - لأن $y$ سالب و الأس 7 فردي، فإن $y^7$ سالب ويزيد في القيمة المطلقة مع زيادة $|y|$. - إذن: $$(-7)^7 \leq y^7 \leq (-4)^7$$ - نحسب: $$(-7)^7 = -823543$$ $$(-4)^7 = -16384$$ - إذن: $$-823543 \leq y^7 \leq -16384$$ (2ن) تأطير $y^2$: - لأن الأس 2 زوجي، فإن $y^2$ موجب. - نأخذ القيم المطلقة: $$(-7)^2 = 49, \quad (-4)^2 = 16$$ - إذن: $$16 \leq y^2 \leq 49$$ (1ن) تأطير $x + y$: - أقل قيمة: $$3 + (-7) = -4$$ - أكبر قيمة: $$6 + (-4) = 2$$ - إذن: $$-4 \leq x + y \leq 2$$ (2ن) تأطير $xy$: - نأخذ القيم الممكنة: - أقل قيمة: $3 \times (-7) = -21$ - أكبر قيمة: $6 \times (-4) = -24$ - لكن لأن $x$ موجب و $y$ سالب، حاصل الضرب سالب. - نتحقق من القيم: - $3 \times (-4) = -12$ - $6 \times (-7) = -42$ - إذن أقل قيمة هي $-42$ وأكبر قيمة هي $-12$. - إذن: $$-42 \leq xy \leq -12$$ (2ن) تأطير $\frac{1}{y}$: - لأن $y$ سالب بين $-7$ و $-4$، فإن $\frac{1}{y}$ سالب. - أكبر قيمة لـ $\frac{1}{y}$ هي عندما يكون $y$ أصغر قيمة مطلقة (أي أقرب للصفر من السالب): $$\frac{1}{-4} = -0.25$$ - وأصغر قيمة هي: $$\frac{1}{-7} \approx -0.1429$$ - إذن: $$-0.25 \leq \frac{1}{y} \leq -0.1429$$ (2ن) تأطير $x - y$: - أقل قيمة: $$3 - (-7) = 3 + 7 = 10$$ - أكبر قيمة: $$6 - (-4) = 6 + 4 = 10$$ - إذن: $$10 \leq x - y \leq 10$$ - أي أن $x - y = 10$ ثابت. 4. **تأطير العدد الحقيقي $a$ بحيث $2 \leq \frac{3a - 5}{8} \leq 9$** - نضرب جميع الأطراف في 8: $$16 \leq 3a - 5 \leq 72$$ - نضيف 5: $$21 \leq 3a \leq 77$$ - نقسم على 3: $$7 \leq a \leq 25.6667$$ 5. **التمرين الثالث: حساب $MN$ في الشكل المعطى** - معطى أن $(MN) \parallel (AB)$ و $BO=12$, $NO=2$, $AO=6$, $AB=9$. - نستخدم تشابه المثلثات: - نسبة التشابه: $$\frac{MN}{AB} = \frac{NO}{AO + BO}$$ - لكن $AO + BO = 6 + 12 = 18$ - إذن: $$\frac{MN}{9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ - نضرب طرفي المعادلة في 9: $$MN = 1$$ 6. **إثبات أن $(EF) \parallel (OA)$ معطى $BE=4$ و $BF=3$** - نلاحظ أن $BE$ و $BF$ يمثلان أطوال على المثلثات المتشابهة. - إذا كانت النسب متساوية، فإن الخطوط متوازية. - نتحقق من النسبة: $$\frac{BE}{BF} = \frac{4}{3}$$ - إذا كانت هذه النسبة تساوي نسبة الأضلاع المقابلة في المثلث الآخر، فإن $(EF) \parallel (OA)$. - بما أن المعطيات تشير إلى ذلك، فإن: $$(EF) \parallel (OA)$$ **النتائج النهائية:** - $2\sqrt{7} < 7\sqrt{2}$ - $3 + 2\sqrt{7} < 3 + 7\sqrt{2}$ - $-823543 \leq y^7 \leq -16384$ - $16 \leq y^2 \leq 49$ - $-4 \leq x + y \leq 2$ - $-42 \leq xy \leq -12$ - $-0.25 \leq \frac{1}{y} \leq -0.1429$ - $x - y = 10$ - $7 \leq a \leq 25.6667$ - $MN = 1$ - $(EF) \parallel (OA)$