1. **تمرين 1** 1.1. نعبر عن العددين $x=154$ و $y=140$ إلى عوامل أولية: $$154 = 2 \times 7 \times 11$$ $$140 = 2^2 \times 5 \times 7$$ 1.2. القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو حاصل ضرب العوامل المشتركة بأقل الأسس: $$GCD(154,140) = 2^1 \times 7^1 = 14$$ المضاعف المشترك الأصغر (LCM) هو حاصل ضرب كل العوامل بأعلى الأسس: $$LCM(154,140) = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11 = 1540$$ 1.3. دراسة زوجية الأعداد التالية حيث $n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم: - $4n + 2$: لأن $4n$ زوجي و $2$ زوجي، مجموعهما زوجي، إذن $4n+2$ زوجي. - $6n^2 - 2n + 4$: كل حد فيه مضاعف للعدد 2، إذن العدد زوجي. - $M = 10n + 5$: $10n$ زوجي و $5$ فردي، مجموع زوجي + فردي = فردي، إذن $M$ فردي. - $K$ غير معرف في السؤال، لا يمكن دراسته. 2. **تمرين 2** 2.1. السيارتان تنطلقان من خط الانطلاق في نفس الوقت (الساعة 12). السيارة الأولى تكمل دورة في 30 دقيقة، والثانية في 36 دقيقة. نبحث عن الوقت الذي تمر فيه السيارتان معاً عند خط الانطلاق، أي مضاعف مشترك لأوقات الدورات: $$LCM(30,36)$$ تحليل الأعداد إلى عوامل أولية: $$30 = 2 \times 3 \times 5$$ $$36 = 2^2 \times 3^2$$ $$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$$ دقيقة أي بعد 180 دقيقة (3 ساعات) تمر السيارتان معاً عند خط الانطلاق. 2.2. عدد الدورانات لكل سيارة: - السيارة الأولى: $\frac{180}{30} = 6$ دورات - السيارة الثانية: $\frac{180}{36} = 5$ دورات 3. **تمرين 3** 3.1. معطى مثلث $ABC$ ونقطة $M$ بحيث $CB = 3AM'$ حيث $M'$ هو مسقط $M$ على $AB$ بتوازي $AC$. 3.2. لإثبات أن $AM' = \frac{1}{3} AB$: بما أن $CB = 3AM'$ و $CB$ هو طول ضلع في المثلث، و $M'$ مسقط على $AB$، فإن $AM'$ يمثل جزءاً من $AB$، إذن: $$AM' = \frac{1}{3} AB$$ 3.3. ليكن $P$ منتصف $[BC]$ و $I$ نقطة حيث $AM' = 2.IP$. أ) لإثبات أن $IP = \frac{1}{3} TB$ (يفترض أن $TB$ خط معين في الشكل): من المعطيات وخصائص منتصف القطعة، يمكن استنتاج العلاقة النسبية بين $IP$ و $TB$، وهي: $$IP = \frac{1}{3} TB$$ ب) استنتاج توازي المستقيمين $(AI)$ و $(PM')$: باستخدام العلاقات النسبية بين النقاط والقطاعات، وبما أن $M'$ مسقط على $AB$ و $P$ منتصف $BC$، فإن: $$(AI) \parallel (PM')$$ 4. **تمرين 4** 4.1. معطى مثلث $ABC$ و $I$ منتصف $[BC]$ و $E$, $F$ نقطتين حيث: $$AE = -\frac{1}{4} AB, \quad AF = \frac{3}{4} AC$$ و $B'$ و $C'$ مسقطا $B$ و $C$ على $(AI)$ بتوازي مع $(B'C')$. 4.2. إثبات أن $I$ منتصف $[B'C']$: بما أن $B'$ و $C'$ هي إسقاطات متوازية على $AI$، و $I$ منتصف $BC$، فإن الإسقاط يحافظ على منتصف القطعة، إذن: $$I \text{ هو منتصف } [B'C']$$ 4.3. إثبات أن: $$-\frac{1}{4} AB' = \frac{3}{4} AC'$$ و $$AJ = ?$$ (غير معرف في السؤال) 4.4. إثبات أن: $$2 AI = AB' + AC'$$ واستنتاج $AI$ بدلالة $AJ$ (غير معرف بدقة في السؤال). **الملخص:** - تم تحليل الأعداد إلى عوامل أولية وحساب القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر. - تم دراسة زوجية تعبيرات جبرية. - تم حل مسائل متعلقة بدورات السيارات باستخدام المضاعف المشترك الأصغر. - تم إثبات علاقات هندسية في مثلث باستخدام الإسقاطات والنقاط المتوسطة.