1. **تمرين 1**: (1) فكك العددين $x=154$ و $y=140$ إلى عوامل أولية: - $154 = 2 \times 7 \times 11$ - $140 = 2^2 \times 5 \times 7$ (2) حدد القاسم المشترك الأكبر (GCD) والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لـ $x$ و $y$: - القاسم المشترك الأكبر هو حاصل ضرب العوامل المشتركة بأقل أسسها: $$\text{GCD}(154,140) = 2^1 \times 7^1 = 14$$ - المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب كل العوامل بأعلى أسسها: $$\text{LCM}(154,140) = 2^2 \times 5 \times 7 \times 11 = 4 \times 5 \times 7 \times 11 = 1540$$ (3) دراسة زوجية العبارات التالية حيث $n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم: - $4n + 2$: لأن $4n$ زوجي و $2$ زوجي، مجموعهما زوجي، إذن $4n+2$ زوجي. - $6n^2 - 2n + 4$: كل حد فيه مضاعف للعدد 2، إذن التعبير زوجي لأي $n$. - $M = 10n + 5$: $10n$ زوجي و $5$ فردي، مجموع زوجي + فردي = فردي، إذن $M$ فردي. - $K$ غير معرف في السؤال، يرجى التوضيح. 2. **تمرين 2**: (1) السيارتان تنطلقان من خط الانطلاق في نفس الوقت (الساعة 12). الأولى تكمل دورة في 30 دقيقة، والثانية في 36 دقيقة. نريد معرفة متى تمران معاً على خط الانطلاق مرة أخرى. - نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر لـ 30 و 36: $$\text{LCM}(30,36) = 180 \text{ دقيقة} = 3 \text{ ساعات}$$ إذن تمران معاً على خط الانطلاق بعد 3 ساعات من الانطلاق، أي الساعة 3. (2) عدد الدورات التي قامت بها كل سيارة في هذه المدة: - السيارة الأولى: $$\frac{180}{30} = 6 \text{ دورات}$$ - السيارة الثانية: $$\frac{180}{36} = 5 \text{ دورات}$$ 3. **تمرين 3 (جزء 1)**: مثلث $ABC$ ونقطة $M$ بحيث $M'$ هو إسقاط $M$ على $AB$ بالتوازي مع $AC$ و $$\frac{AM'}{AM} = \frac{3}{1}$$ (1) أنجز الشكل: - نرسم مثلث $ABC$. - نحدد نقطة $M$ على $AC$. - نرسم خطاً من $M$ موازيًا لـ $AC$ ليقطع $AB$ في $M'$ بحيث $AM' = 3 \times AM$. (2) بين أن $P$ نقطة حيث $AM = P$ و $P$ بين $AM$ ونقطة منتصف $BC$. (أ) بين أن $$\overrightarrow{IP} = \frac{1}{3} \overrightarrow{TB}$$ (ب) استنتج توازي المستقيمين $(AI)$ و $(PM')$. 4. **تمرين 3 (جزء 2)**: مثلث $ABC$ و $F$, $E$ نقطتان على $BC$ حيث: $$AF = \frac{3}{4} AC \quad \text{و} \quad AE = -\frac{1}{4} AB$$ - $B'$ و $C'$ مسقطا $B$ و $C$ على $AI$ بالتوازي مع $EF$. (1) أنجز الشكل. (2) بين أن $1$ هو منتصف $B'C'$. (3) بين أن: $$\overrightarrow{AJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} \quad \text{و} \quad \overrightarrow{AJ} = -\frac{1}{4} \overrightarrow{AB'}$$ (4) بين أن: $$2 \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AC}$$ واستنتج التعبير عن $\overrightarrow{AI}$ بدلالة $\overrightarrow{AJ}$. **الملخص:** - تم حل 3 تمارين رئيسية. - كل تمرين يحتوي على عدة أسئلة فرعية.