1. **مشكلة القاسم المشترك الأكبر** نبدأ بتعريف القاسم المشترك الأكبر (GCD) لعددين وهو أكبر عدد يقسم كلا العددين بدون باقي. مثال: نجد GCD للعددين 24 و 36. - نحلل الأعداد إلى عواملهما الأولية: 24 = $2^3 \times 3$, 36 = $2^2 \times 3^2$. - القاسم المشترك الأكبر يأخذ الأسس الأدنى لكل عامل مشترك: $2^{min(3,2)} \times 3^{min(1,2)} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$. 2. **العددين أوليين فيما بينهما** نقول إن عددين أوليان فيما بينهما إذا كان GCD لهما هو 1. مثال: 8 و 15 - تحليل 8: $2^3$، 15: $3 \times 5$ - لا توجد عوامل أولية مشتركة، إذًا GCD=1، وهما أوليان فيما بينهما. 3. **الاختزال (تبسيط الكسور)** للاختزال، نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر لهما. مثال: اختزل الكسر $\frac{24}{36}$. - GCD(24,36) = 12 - $\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$. 4. **حل معادلة من الدرجة الثانية** المعادلة العامة: $ax^2 + bx + c = 0$ - نستخدم صيغة الجذر: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ - نحسب المميز $\Delta = b^2 - 4ac$، ثم نجد قيم $x$. مثال: حل المعادلة $2x^2 - 4x - 6 = 0$ - $a=2$, $b=-4$, $c=-6$ - $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64$ - $x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4}$ - الجذور هي $x_1 = \frac{4 + 8}{4} = 3$, $x_2 = \frac{4 - 8}{4} = -1$ 5. **الجذور** الجذر التربيعي لعدد هو القيمة التي إذا رفعت للقوة 2 تعطي ذلك العدد. مثال: $\sqrt{9} = 3$ لأن $3^2 = 9$.