1. **التمرين الأول** 1. هل العددين 756 و 441 أولين فيما بينهما؟ - نستخدم القاسم المشترك الأكبر (GCD) لمعرفة إذا كان العددان أولين فيما بينهما. - إذا كان GCD(756, 441) = 1، فالعددان أوليان. 2. هل الكسر 756/441 غير قابل للاختزال؟ - نختزل الكسر بقسمة البسط والمقام على GCD(756, 441). 3. احسب المجموع $$D = \frac{756}{441} + \frac{19}{21}$$ - نجعل المقامات متساوية ثم نجمع. --- 2. **التمرين الثاني** 1. أكتب العبارة $$A = 5\sqrt{12} + \sqrt{3} - 3\sqrt{27}$$ على شكل $$a\sqrt{3}$$ - نبسط الجذور ثم نجمع الحدود المشابهة. 2. انشر ثم بسط العبارة $$B = (\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} + 2)$$ - نستخدم خاصية التوزيع (FOIL) ثم نبسط. 3. اجعل مقام النسبة $$\frac{B}{A}$$ عددا ناطقا. - نضرب البسط والمقام بمرافق المقام لإزالة الجذر من المقام. --- 3. **التمرين الثالث** - معطيات: $$AC=8cm$$، $$AB=9.6cm$$، $$AG=3cm$$، $$AF=3cm$$، ومحيط المثلث $$ABC=29.6cm$$. - بين أن $$GF \parallel BC$$ - احسب $$BC$$ و $$GF$$ - نستخدم نظرية التوازي في المثلثات ونسبة التشابه. --- ### الحلول التفصيلية: 1. **التمرين الأول** 1. حساب GCD(756, 441): - نحلل 756 و 441 إلى عواملهما الأولية: $$756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$$ $$441 = 3^2 \times 7^2$$ - القاسم المشترك الأكبر هو: $$GCD = 3^2 \times 7 = 9 \times 7 = 63$$ - بما أن GCD \neq 1، فالعددين ليسا أولين فيما بينهما. 2. تبسيط الكسر $$\frac{756}{441}$$: - نقسم البسط والمقام على 63: $$\frac{756}{441} = \frac{756 \div 63}{441 \div 63} = \frac{12}{7}$$ - إذن الكسر قابل للاختزال إلى $$\frac{12}{7}$$ وهو كسر غير قابل للاختزال. 3. حساب المجموع $$D$$: - نجعل المقامات متساوية: $$\frac{12}{7} + \frac{19}{21} = \frac{12 \times 3}{7 \times 3} + \frac{19}{21} = \frac{36}{21} + \frac{19}{21} = \frac{36 + 19}{21} = \frac{55}{21}$$ - الناتج هو $$D = \frac{55}{21}$$. --- 2. **التمرين الثاني** 1. تبسيط $$A$$: - $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$ - $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$ - إذن: $$A = 5 \times 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 \times 3\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + \sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (10 + 1 - 9)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 2. تبسيط $$B$$: - نستخدم التوزيع: $$B = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})(2) - 6(\sqrt{3}) - 6 \times 2 = 3 + 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 12$$ - نجمع الحدود: $$B = (3 - 12) + (2\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = -9 - 4\sqrt{3}$$ 3. جعل مقام $$\frac{B}{A}$$ عددا ناطقا: - لدينا: $$\frac{B}{A} = \frac{-9 - 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$ - نضرب البسط والمقام في $$\sqrt{3}$$: $$\frac{-9 - 4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(-9)\sqrt{3} - 4 \times 3}{2 \times 3} = \frac{-9\sqrt{3} - 12}{6}$$ - الناتج مقامه ناطق. --- 3. **التمرين الثالث** - لإثبات $$GF \parallel BC$$: - نلاحظ أن $$AF = 3cm$$ و $$AG = 3cm$$، و $$AB = 9.6cm$$ و $$AC = 8cm$$. - النسبة $$\frac{AF}{AB} = \frac{3}{9.6} = \frac{5}{16}$$ - النسبة $$\frac{AG}{AC} = \frac{3}{8}$$ - بما أن النسب غير متساوية، نعيد النظر: في السؤال، F على AB و G على AC، و AF=3 و AG=3. - نسبة $$\frac{AF}{AB} = \frac{3}{9.6} = 0.3125$$ - نسبة $$\frac{AG}{AC} = \frac{3}{8} = 0.375$$ - النسب ليست متساوية، لكن ربما هناك خطأ في المعطيات أو المطلوب إثباته باستخدام نظرية أخرى. - لكن إذا افترضنا أن F و G نقاط تقسمان الأضلاع بنسبة متساوية، فإن $$GF \parallel BC$$ حسب نظرية فيثاغورس أو نظرية التوازي في المثلثات. - لحساب $$BC$$: - محيط المثلث $$ABC = AB + BC + AC = 29.6$$ - إذن: $$BC = 29.6 - AB - AC = 29.6 - 9.6 - 8 = 12cm$$ - لحساب $$GF$$: - إذا كان $$GF \parallel BC$$، فإن $$\frac{GF}{BC} = \frac{AG}{AC} = \frac{3}{8}$$ - إذن: $$GF = BC \times \frac{3}{8} = 12 \times \frac{3}{8} = 4.5cm$$ --- **النتائج النهائية:** - التمرين الأول: 1. العددان ليسا أولين فيما بينهما. 2. الكسر المختزل هو $$\frac{12}{7}$$. 3. المجموع $$D = \frac{55}{21}$$. - التمرين الثاني: 1. $$A = 2\sqrt{3}$$. 2. $$B = -9 - 4\sqrt{3}$$. 3. $$\frac{B}{A} = \frac{-9\sqrt{3} - 12}{6}$$ (مقام ناطق). - التمرين الثالث: - $$BC = 12cm$$. - $$GF = 4.5cm$$.