### التمرين الأول: أجب بصح أو خطأ مع التعلل 1. هل العدد 119 أولي؟ - العدد 119 ليس عددًا أوليًا لأنه يقبل القسمة على 7 (لأن $7 \times 17 = 119$). 2. صياغة العدد $14357 \times 10^4 = 14357$ في 14: - هذا التعبير غير صحيح لأن $14357 \times 10^4 = 143570000$ وليس 14357 في 14. 3. هل $32,698 \times 10^6 = 32,7$؟ - خطأ، لأن $32,698 \times 10^6 = 32698000000$ وهو ليس $32,7$. 4. هل هناك خمسة أعداد صحيحة أكبر من عدد صحيح نسبي؟ - صح، فالأعداد الصحيحة الأكبر من أي عدد نسبي كثيرة جدًا ويمكن إيجاد خمسة بكل سهولة. ### التمرين الثاني: حس حساب الأعداد النقية والأصغر مجموعة ينتمي إليها A = $\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 + 1 = 3$ - العدد 3 عدد صحيح ونقي. - أصغر مجموعة ينتمي إليها هو مجموعة الأعداد الطبيعية (\mathbb{N}). B = $\sqrt{19} + \sqrt{35} + \sqrt{1} = \sqrt{19} + \sqrt{35} + 1$ - الجذور $\sqrt{19}$ و $\sqrt{35}$ غير جذر كامل، إذن العدد غير نسبي. - ينتمي لمجموعة الأعداد غير النسبية (العددية الحقيقية \mathbb{R}). C = $2\sqrt{5} - 9 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{3}\right)^2$ - نحسب الجزء الثاني: $$\left(\frac{1+\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{(1+\sqrt{5})^2}{9} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{9} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{9} = \frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{9}$$ - إذن: $$C = 2\sqrt{5} - 9\left(\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{5}}{9}\right) = 2\sqrt{5} - 6 - 2\sqrt{5} = -6$$ - إذن C عدد صحيح طبيعي. - إذن C ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة (\mathbb{Z}). ### التمرين الثالث: معطى: $a=612$ و $b=1530$. 1. هل العددان $a$ و $b$ هما موافق أولي؟ - نوجد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) ونرى إذا كان 1 أم لا. - نحلل باختبار القواسم: $$612 = 2^2 \times 3^2 \times 17$$ $$1530 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$$ - القواسم المشتركة: $2^1, 3^1, 17^1$ - إذن $$PGCD(a,b) = 2 \times 3 \times 17 = 102\ne 1$$ - إذن ليسا أوليين مع بعضهما البعض. 2. برهن أن ناتج $a^x b^y$ هو موافق أولي لا عدد $(a \times b)$ - وهو يعني أن $a^x b^y$ و $a \times b$ ليسا أوليين، لأن هما مرتبطان بالعوامل المشتركة. 3. أثبت العلاقة: $$\frac{b}{PGCD(a,b)} = \frac{a}{PPCM(a,b)}$$ - حيث PPCM هو المضاعف المشترك الأصغر. - من العلاقات المعروفة: $$PGCD(a,b) \times PPCM(a,b) = a \times b$$ - إذًا: $$\frac{b}{PGCD(a,b)} = \frac{a \times b}{a \times PGCD(a,b)} = \frac{a}{PPCM(a,b)}$$ - العلاقة صحيحة. 4. اكتب العدد $PGCD(a,b) \times PPCM(a,b)$ - من العلاقة السابقة: $$PGCD(a,b) \times PPCM(a,b) = a \times b = 612 \times 1530 = 936360$$ 5. اكتب العدد C هو شكل غير خطي في الفضاء الإقليدي: $C = -45,17$ غير واضح، على الأرجح هو نقطة أو إحداثيات (x,y) ولكن من غير المعطيات الأخرى لا يمكن تحديد أكثر.