اختبار رياضيات متوسط
1. **المسألة الأولى:**
أوجد عددين طبيعيين $a$ و $b$ حيث مجموعهما 231 وقاسمها المشترك الأكبر هو 21، مع الشرط $\frac{a}{b} > \frac{8}{a}$.
2. بما أن القاسم المشترك الأكبر (GCD) لـ $a$ و $b$ هو 21، نكتبهما كالتالي:
$$a = 21m \ , \ b = 21n$$
حيث $m$ و $n$ عددان طبيعيان نسبياً بعضهما البعض، أي $\gcd(m,n)=1$.
3. مجموع $a + b = 21m + 21n = 21(m+n) = 231 \Rightarrow m+n = 11$.
4. الشرط $\frac{a}{b} > \frac{8}{a}$ يصبح:
$$\frac{21m}{21n} > \frac{8}{21m} \Rightarrow \frac{m}{n} > \frac{8}{21m} \Rightarrow m^2 > \frac{8n}{21}$$
5. بما أن $m+n=11$ و $m,n \in \mathbb{N}$ و $\gcd(m,n)=1$، نجرب القيم الزوجية بحيث يبقى الشرط صحيحاً.
6. نجرب $m=6$ و $n=5$ (مختلفتان و $6+5=11$):
$$m^2 = 36 \ , \ \frac{8n}{21} = \frac{8 \times 5}{21} = \frac{40}{21} \approx 1.904$$
إذا $36 > 1.904$ الشرط محقق.
7. إذن $a = 21 \times 6 = 126$, و $b = 21 \times 5 = 105$.
8. أما الكسر $\frac{a}{b} = \frac{126}{105}$، نختصره بقسمة البسط والمقام على 21:
$$\frac{126}{105} = \frac{6}{5}$$
وهو كسر غير قابل للاختزال.
---
1. **المسألة الثانية:**
حساب القيم التالية:
$$A = \left(3 \sqrt{\frac{7}{28}}\right)^2, \quad B = \frac{1}{\sqrt{7}+2}, \quad C = \frac{2 - \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}$$
2. حساب $A$:
$$\sqrt{\frac{7}{28}} = \sqrt{\frac{7}{4 \times 7}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$
إذا:
$$A = \left(3 \times \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$
3. حساب $C$:
$$2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
فتصبح:
$$C = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{5}{3} \times 4 = \frac{20}{3}$$
4. لجعل مقام $B$ عدداً ناطقاً، نضرب البسط والمقام في $\sqrt{7}-2$ (مرافق المقام):
$$B = \frac{1}{\sqrt{7}+2} \times \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}-2}{\left(\sqrt{7}\right)^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{7}-2}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7}-2}{3}$$
5. إثبات العلاقة:
$$\frac{3 B (\sqrt{7} + 2)}{A} = \frac{3 \times \frac{\sqrt{7}-2}{3} \times (\sqrt{7} + 2)}{\frac{9}{4}} = \frac{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}{\frac{9}{4}} = \frac{7 - 4}{\frac{9}{4}} = \frac{3}{\frac{9}{4}} = 3 \times \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$
نلاحظ هنا ناتج 4/3 وليس 2/3 كما في المطلوب.
لكن إذا تحققنا من إعداد السؤال أو الرد بدقة، نلاحظ أن التعبير في السؤال قد يحتوي على خطأ مطبعي.
---
1. **المسألة الثالثة:**
المستطيل أبعاده:
$$x = \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{5}$$
$$y = \sqrt{45} - \sqrt{20} - \sqrt{2}$$
2. تبسيط $x$:
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$$
$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$$
إذا
$$x = 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{2} + \sqrt{5}$$
3. تبسيط $y$:
$$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$$
$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$$
إذا:
$$y = 3 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{2} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$$
4. مساحة المستطيل:
$$\text{Area} = x \times y = (\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{2})(\sqrt{5}) - (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})(\sqrt{2})$$
لاحظ أن:
$$ (\sqrt{2})(\sqrt{5}) - (\sqrt{5})(\sqrt{2}) = 0 $$
لذا:
$$\text{Area} = -2 + 5 = 3$$
والعدد 3 هو عدد طبيعي، إذن المساحة عدد طبيعي.
---
1. **المسألة الرابعة:**
معطيات:
$$OC=3\, \text{cm}, EO=5\, \text{cm}, OA=6\, \text{cm}$$
2. برهان أن:
$$AC = 3 \sqrt{3}$$
3. النظرية المستخدمة:
في مثلث قائم الزاوية أو باستخدام نظرية فيثاغورس أو علاقات الزوايا.
4. باستخدام المثلث $AOC$،
لو افترضنا زاوية معطاة في $E$ هي 30° بين $OA$ و $OE$ وترسيم متصل للنقاط، نستخدم العلاقات الهندسية المناسبة، أو استناداً إلى المعطيات.
بما أن هناك تفاصيل غير كافية للرسم الدقيق هنا، يمكن افتراض:
$$AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \times OA \times OC \times \cos(30^\circ)$$
5. حساب:
$$AC^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \times 6 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 36 + 9 - 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 45 - 18 \sqrt{3}$$
6. قد نحتاج لإعادة النظر بالمعطيات أو توضيح أكثر لرسم الشكل، لكن المطلوب إثبات النتيجة كما هي.
---
**ملاحظات:**
- هذا الامتحان يحتوي على 4 تمارين.
- كل تمرين يحتوي على عدة أسئلة منفصلة.
- قمنا بحسابات وحلول لكل جزء بناءً على المعطيات المعطاة.