1. نعتبر الدالة $g(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ حيث $a,b,c$ أعداد حقيقية. 2. معطى أن الدالة تمر بالنقطتين $A(1,0)$ و $B(0,-5)$، إذًا: - من $A(1,0)$: $g(1) = 1 + a + b + c = 0$ - من $B(0,-5)$: $g(0) = c = -5$ 3. بما أن $g(0) = c = -5$، نعوض في المعادلة للنقطة $A$: $$1 + a + b - 5 = 0 \Rightarrow a + b = 4$$ 4. يقال أن منحنى الدالة يلتقي المستقيم $y = 6 - 2x$ عند النقطة ذات الإحداثي $x = -1$، إذًا: $$g(-1) = 6 - 2(-1) = 6 + 2 = 8$$ 5. نحسب $g(-1)$ أيضًا: $$g(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b - 5$$ 6. بمعادلة مشتركة: $$-1 + a - b - 5 = 8 \Rightarrow a - b = 14$$ 7. الآن لدينا نظام معادلات: $$\begin{cases} a + b = 4 \\ a - b = 14 \end{cases}$$ بحل النظام: - نجمع المعادلتين: $$2a = 18 \Rightarrow a = 9$$ - نعوض في $a + b = 4$: $$9 + b = 4 \Rightarrow b = -5$$ 8. إذًا الأعداد الحقيقية هي: $$a=9, b=-5, c=-5$$ 9. بالتالي الدالة هي: $$g(x) = x^3 + 9x^2 -5x -5$$ 10. لحساب $g(1)$: $$g(1) = 1 + 9 - 5 - 5 = 0$$ 11. لدراسة إشارة $g(x)$، نجد جذور الدالة ويحلل التغير: - نبدأ بتفكيك أو إيجاد جذور $g(x)$ إذا أمكن، أو ندرس مشتقتها. 12. مشتقة $g(x)$ هي: $$g'(x) = 3x^2 + 18x - 5$$ 13. نوجد جذور $g'(x)$ لحساب نقاط التحول: $$3x^2 + 18x - 5 = 0$$ $$x = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4\cdot3\cdot(-5)}}{2\cdot3} = \frac{-18 \pm \sqrt{324 + 60}}{6} = \frac{-18 \pm \sqrt{384}}{6}$$ 14. نحسب الجذور التقريبية: $$\sqrt{384} \approx 19.6$$ - الجذر الأول: $$x_1 = \frac{-18 - 19.6}{6} = \frac{-37.6}{6} \approx -6.27$$ - الجذر الثاني: $$x_2 = \frac{-18 + 19.6}{6} = \frac{1.6}{6} \approx 0.27$$ 15. نستخدم المشتقة لتحديد التقلبات: - عند $x < -6.27$، قيمة $g'(x) > 0$ (تزايد)، - بين $-6.27$ و $0.27$، قيمة $g'(x) < 0$ (تناقص)، - عند $x > 0.27$، قيمة $g'(x) > 0$ (تزايد). 16. بناءً على ذلك جدول التغير: - يزيد $g$ حتى $x \approx -6.27$, - ينقص بين $-6.27$ و $0.27$, - يزيد بعد $0.27$. 17. إذن الدالة $g$ لها شكل منحنى متعدد الحدود من الدرجة الثالثة مع نقطة انعطاف. 18. نلخص: $$g(x) = x^3 + 9x^2 - 5x - 5,$$ $$ a=9, b=-5, c=-5$$ - تمر بالنقطتين $A$ و $B$. - تمثل الخط المستقيم $y=6-2x$ عند $x=-1$. - تغيراتها معروفة عبر المشتقة.