1. بيان المسألة: نريد حساب قيمة المتسلسلة $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-2}{3^n}$$. 2. الصيغ والقواعد المستخدمة: نستخدم صيغة مجموع سلسلة هندسية ومشتقاتها للحصول على مجموعات تحتوي على n و n^2. الصيغة الأساسية: $$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$$ بالمشتقة الأولى نحصل على: $$\sum_{n=0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$ وبالمشتقة الثانية نحصل على: $$\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$ 3. تطبيق على $x=1/3$ وحساب المجموعين: $$\sum_{n=0}^\infty x^n \Big|_{x=1/3} = \frac{1}{1-1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$$ $$\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n \Big|_{x=1/3} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\Big|_{x=1/3} = \frac{\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{4}{3}}{(\tfrac{2}{3})^3} = \frac{4/9}{8/27} = \frac{3}{2}$$ 4. جمع النتائج والناتج النهائي: لذا $$\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2-2}{3^n} = \frac{3}{2} - 2\cdot\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$$ النتيجة النهائية: المتسلسلة تتقارب إلى $$-\frac{3}{2}$$.