### تمارين التكامل **التمرين 02:** حساب التكاملات المعطاة. 1. التكامل $$\int x\sqrt{x} \, dx$$ - نعبّر $\sqrt{x}$ على شكل قوة: $x^{1/2}$. - إذن المعامل يصبح $x \times x^{1/2} = x^{3/2}$. - التكامل يصبح: $$\int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{5/2} + C$$ 2. التكامل $$\int \sin^{3} x \, dx$$ - نستخدم الصيغة $$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$$. - نعوّض $u=\cos x$, إذن $du = -\sin x dx$. - التكامل يصبح $$-\int (1 - u^2) \, du = -\left(u - \frac{u^{3}}{3}\right) + C = -\cos x + \frac{\cos^{3} x}{3} + C$$. 3. التكامل $$\int \frac{(\tan x)^{99}}{\cos^{2} x} \, dx$$ - لاحظ أن $$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$$. - إذن يمكن اعتبار التكامل كـ $$\int (\tan x)^{99} d(\tan x)$$. - نعتبر $t=\tan x$, وبذلك يصبح التكامل $$\int t^{99} dt = \frac{t^{100}}{100} + C = \frac{(\tan x)^{100}}{100} + C$$. 4. التكامل $$\int \frac{(x+2)^3}{x^3} \, dx$$ - نوزّع المقام لتصبح: $$\int \frac{(x+2)^3}{x^3} dx = \int \frac{x^3 + 6x^2 + 12x + 8}{x^3} dx = \int (1 + 6x^{-1} + 12x^{-2} + 8x^{-3}) \, dx$$. - نكامل كل حد على حدا: $$x + 6 \ln|x| - 12x^{-1} - 4x^{-2} + C$$. 5. التكامل $$\int \sqrt{\frac{x}{1 - x^2}} \, dx$$ - هذا التكامل يحتاج تقنية تبديل المتغير أو التحليل، وهو معقد ويخرج عن نطاق التبسيط المباشر. 6. التكامل $$\int x^{2} \sin x \, dx$$ - نستخدم التكامل بالتجزئة مرتين: - نفرض $u = x^{2}$، $dv = \sin x dx$, فإن $du=2x dx$, و $v=-\cos x$. - إذن $$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x dx$$. - نكامل $\int x \cos x dx$ أيضاً بالتجزئة. 7. التكامل $$\int 7x (x^{2} - 1)^8 dx$$ - نستخدم التعويض $t = x^{2} - 1$, إذن $dt = 2x dx$. - بالتالي، $$7x dx = \frac{7}{2} dt$$. - التكامل يصبح $$\frac{7}{2} \int t^{8} dt = \frac{7}{2} \cdot \frac{t^{9}}{9} + C = \frac{7}{18} (x^{2} - 1)^{9} + C$$. 8. التكامل $$\int \frac{dx}{x^{2} + 2x - 3}$$ - نبسط المقام: $$x^{2} + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$$ - نستخدم التحليل إلى كسور جزئية ثم التكامل. 9. التكامل $$\int \frac{dx}{(x - 1)^2}$$ - مباشرة: $$\int (x - 1)^{-2} dx = - (x-1)^{-1} + C = - \frac{1}{x-1} + C$$. 10. التكامل $$\int \frac{x^{2} - x - 5}{x^{2} - x - 6} dx$$ - نبسط المقام: $x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2)$. - نستخدم القسمة البسيطة أو الكسور الجزئية لحل التكامل. 11. التكامل $$\int \frac{dx}{1 + e^{x}}$$ - نعوّض $t = e^{x}$، ثم نكمل. 12. التكامل $$\int \frac{x}{x^{2} - 10x + 25} dx$$ - نبسط المقام كـ $(x - 5)^2$ ثم نستخدم تعويض مناسب. 13. التكامل $$\int x \sin x \cos x dx$$ - نستخدم الهوية: $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$. - يصبح التكامل $$\frac{1}{2} \int x \sin 2x dx$$ ونستخدم التكامل بالتجزئة. --- **التمرين 03:** استخدام التبديل المتغير 1. $$\int x^{3} (1 - 5x^{2})^{10} dx$$ مع $t = 1 - 5x^{2}$ - نحسب $dt = -10x dx$, أعِد ترتيبها وبدّل التكامل باستخدام $t$. 2. $$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{2 - x}} dx$$ مع $t=\sqrt{2 - x}$ - عبّر $x$ و $dx$ بدلالة $t$ واستكمل التكامل. 3. $$\int \frac{x^{5}}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$$ مع $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ - استخرج $x$ و $dx$ من المعادلة بدلالة $y$ وابدأ التكامل 4. $$\int \frac{e^{x}}{\sqrt{1 + e^{x}}} dx$$ مع $t = 1 + e^{x}$ - اشتق $t$ وبدّل التكامل بالمتغير $t$ 5. $$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^{2}}}$$ مع $y = x + \sqrt{1 + x^{2}}$ - استعمل هذا التعويض لتحويل التكامل إلى شكل أبسط --- اطلب مني إذا أردت حل تفصيلي لأي تكامل معين أو شرحه بالعربية خطوة بخطوة.