1. نبدأ بتحديد المعطيات: لدينا منحنى دالة $f(x)=x^3+3$ ونريد حساب مساحة المثلث المكون من المماس المرسوم من النقطة $(1,0)$ على المنحنى والعمودي على المماس عند النقطة التي $x=1$، والمستقيم $y=1$. 2. نحسب مشتقة الدالة لإيجاد ميل المماس عند أي نقطة $x$: $$f'(x)=3x^2$$ 3. الميل عند النقطة $x=1$ هو: $$f'(1)=3(1)^2=3$$ 4. إحداثيات النقطة على المنحنى عند $x=1$ هي: $$f(1)=1^3+3=4$$ 5. معادلة المماس عند $x=1$ باستخدام نقطة الميل: $$y - 4 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x + 1$$ 6. المعطى أن المماس المرسوم من النقطة $(1,0)$، نحتاج معادلة المماس عند هذه النقطة. نحسب ميل المماس عند $x=1$ كما في الخطوة 3، لكن النقطة $(1,0)$ ليست على المنحنى، لذا نحتاج معادلة المماس من هذه النقطة إلى المنحنى. 7. نوجد معادلة المماس عند $x=1$ كما في الخطوة 5، ثم نرسم عمودياً على هذا المماس من النقطة $(1,0)$. 8. الميل للمماس عند $x=1$ هو 3، إذن الميل للعمودي عليه هو: $$m_{\perp} = -\frac{1}{3}$$ 9. معادلة الخط العمودي المار بالنقطة $(1,0)$: $$y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$ 10. نقطة تقاطع هذا الخط مع المماس $y=3x+1$ نحسبها بحل النظام: $$3x + 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$$ 11. نجمع الحدود: $$3x + \frac{1}{3}x = \frac{1}{3} - 1 \Rightarrow \frac{10}{3}x = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \times \frac{3}{10} = -\frac{1}{5}$$ 12. نحسب $y$ عند $x=-\frac{1}{5}$: $$y = 3\left(-\frac{1}{5}\right) + 1 = -\frac{3}{5} + 1 = \frac{2}{5}$$ 13. لدينا الآن رؤوس المثلث: - النقطة $(1,0)$ - نقطة التقاطع بين العمودي والمماس $\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ - نقطة تقاطع المماس مع المستقيم $y=1$، نوجدها بحل: $$3x + 1 = 1 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x=0$$ 14. إذن نقطة التقاطع هي $(0,1)$ 15. نحسب مساحة المثلث باستخدام صيغة المساحة للنقاط الثلاث $(x_1,y_1)$، $(x_2,y_2)$، $(x_3,y_3)$: $$\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$ 16. نعوض: $$x_1=1, y_1=0; x_2=-\frac{1}{5}, y_2=\frac{2}{5}; x_3=0, y_3=1$$ 17. نحسب: $$= \frac{1}{2} |1(\frac{2}{5} - 1) + (-\frac{1}{5})(1 - 0) + 0(0 - \frac{2}{5})|$$ $$= \frac{1}{2} |1(-\frac{3}{5}) - \frac{1}{5} + 0| = \frac{1}{2} |-\frac{3}{5} - \frac{1}{5}| = \frac{1}{2} | -\frac{4}{5} | = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$$ 18. إذن مساحة المثلث هي $\frac{2}{5}$ وحدة مربعة.