1. مسئله: الف) دامنه تابع $y = f\left(-\frac{x}{2}\right) + 1$ را به دست آورید. 2. برای یافتن دامنه، ابتدا دامنه تابع اصلی $f$ را می‌دانیم. فرض می‌کنیم دامنه $f$ برابر با مجموعه‌ای از اعداد $D$ باشد. 3. عدد داخل تابع $f$، یعنی $-\frac{x}{2}$ باید در دامنه $D$ قرار بگیرد. بنابراین: $$-\frac{x}{2} \in D$$ 4. حال برای $x$ داریم: $$x \in \{x| -\frac{x}{2} \in D\}$$ یا معادل: $$x \in \{-2t | t \in D\}$$ بنابراین دامنه جدید حاصل از اعمال تبدیل غیر خطی بر روی متغیر ورودی است. 5. در تابع $y = f\left(-\frac{x}{2}\right) + 1$، جمع عدد ثابت $1$ دامنه را تغییر نمی‌دهد. 6. لذا دامنه تابع جدید برابر است با $$\left\{x : -\frac{x}{2} \in D \right\}$$ که همان $$\{x : x = -2t, t \in D\}$$ است. ------------------------------- 7. مسئله: ب) نمودار تابع $y = f\left(-\frac{x}{2}\right) + 1$ را رسم کنید. 8. برای ترسیم این نمودار، دو تبدیل بر روی نمودار $f(x)$ اعمال می‌شود: - تغییر متغیر ورودی از $x$ به $-\frac{x}{2}$ که شامل: - انقباض افقی نسبت به محور $y$ با ضریب 2 (زیرا $x$ به $\frac{x}{2}$ تغییر کرده) - بازتاب نسبت به محور $y$ به خاطر علامت منفی - انتقال عمودی به اندازه $+1$ 9. بنابراین مراحل رسم: - ابتدا نمودار $f(x)$ را از نظر افقی دو برابر فشرده و بر محور $y$ قرینه کنید. - سپس کل نمودار را یک واحد به بالا منتقل کنید. ------------------------------- 10. مسئله: 5 چگونه نمودار $y = f(2x + 1)$ را از $y = f(x + 1)$ به دست آوریم؟ 11. نمودار $y = f(x+1)$ انتقال واحدی به چپ نسبت به $y=f(x)$ است (زیرا $x$ به $x+1$ تبدیل شده). 12. برای رسیدن به نمودار $y = f(2x + 1)$: - ابتدا از $y = f(x + 1)$، متغیر $x$ را جایگزین کنید با $$x = \frac{u}{2}$$ تا $2x+1$ شود. - این به معنی انقباض افقی نسبت به محور $y$ با ضریب $rac{1}{2}$ است. 13. به طور خلاصه: - ابتدا نمودار را به سمت چپ یک واحد انتقال دهید. - سپس روی $y$-محور در جهت افقی فشرده کنید به طوری که محور $x$ به نصف کاهش یابد. این دو گام تغییرات مورد نظر را ایجاد می‌کنند.