1. بيان المسألة: معطاة الدالة $f(x)=\frac{2a - x^2}{x}$ مع الشرط $a>0$ و $x\neq 0$. المطلوب بندًا بندًا: (1) خطوط التقارب المعامدة للمحورين، (2) إثبات أن الدالة فردية، (3) نقاط التقاطع مع المحاور، (4) مجالات التصاعد والتنازل، (5) مجالات التقعر للأعلى والأسفل. ثم: رسم تقريبي لـ $f(x)$، وتعريف الدالة $g(x)=|f(x)-b|$ حيث $b>0$، ثم معرفة أن إحدى النقاط القصوى للدالة $g$ هي $(-15,4)$ واستخدام ذلك لإيجاد $a$ و $b$، وأخيرًا تحليل نوع النقطة القصوى للدالة $s(x)=\int_{1}^{x} g(t)\,dt$ على المجال $x>1$. 2. قوانين وملاحظات مهمة قبل الحل: - تعريف دالة فردية: $f(-x)=-f(x)$. - قاعدة المشتقة: إذا كانت $f(x)=2a\,x^{-1}-x$ فإن $f'(x)=-2a\,x^{-2}-1$. - قاعدة التقعر: $f''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(f'(x)\bigr)$. - عند دراسة $g(x)=|h(x)|$ مع $h(x)=f(x)-b$، فإن نقاط الاقتطاف (غير القابلة للاشتقاق) تكون حيث $h(x)=0$، وإذا كان $h(x)\neq 0$ فـ $g'(x)=\operatorname{sgn}(h(x))\,h'(x)$. 3. (1) خطوط التقارب المعامدة للمحورين: - عمودي: ندرس السلوك عند $x\to 0^{\pm}$. - $f(x)=\dfrac{2a-x^2}{x}=\dfrac{2a}{x}-x$. - لذا $\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty$ و $\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-\infty$ لأن الحد $\dfrac{2a}{x}$ يهيمن. - إذن يوجد تقارب عمودي عند $x=0$، أي المعادلة $x=0$ هي خط تقارب عمودي. - أفقي: نأخذ $x\to\pm\infty$. - $f(x)= -x + \dfrac{2a}{x}$، فيكون $f(x)\sim -x$ عندما يذهب $x$ إلى ما لا نهاية. - لا يوجد حد نهاية ثابت لذا لا يوجد تقارب أفقي. - ملحوظة: لا توجد خطوط تقارب أفقية، والتقارب العمودي الوحيد (المعمود على المحور الأفقي) هو $x=0$. 4. (2) إثبات أن الدالة فردية: - نحسب $f(-x)=\dfrac{2a-(-x)^2}{-x}=\dfrac{2a-x^2}{-x}=-\dfrac{2a-x^2}{x}=-f(x)$. - إذن $f$ دالة فردية لأن $f(-x)=-f(x)$ لجميع $x\neq 0$. 5. (3) نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحورين: - تقاطع مع محور الصادات (y-axis): يتطلب وضع $x=0$، لكن $x=0$ خارج مجال التعريف، إذًا لا يوجد تقاطع مع محور الصادات. - تقاطع مع محور السينات (x-axis): نحل $f(x)=0$. - ذلك يعني $\dfrac{2a-x^2}{x}=0\iff 2a-x^2=0\iff x^2=2a$. - إذًا نقاط التقاطع: $x=\pm\sqrt{2a}$، أي النقاط $\bigl(\sqrt{2a},0\bigr)$ و $\bigl(-\sqrt{2a},0\bigr)$. 6. (4) مجالات التصاعد والتنازل (المونوتونية): - نحسب المشتقة: - $f(x)=2a\,x^{-1}-x$. - $f'(x)=-2a\,x^{-2}-1=-1-\dfrac{2a}{x^2}$. - بما أن $a>0$ و $x^2>0$ لكل $x\neq 0$، فإن $\dfrac{2a}{x^2}>0$، إذًا $f'(x)=-1-\dfrac{2a}{x^2}<0$ لجميع $x\neq 0$. - النتيجة: الدالة تنازلية Strictly decreasing على كل من الفترتين $(-\infty,0)$ و $(0,\infty)$. 7. (5) مجال التغاير (التقعر): - نحسب الاشتقاق الثاني: - $f''(x)=\dfrac{d}{dx}\Bigl(-1-\dfrac{2a}{x^2}\Bigr)=\dfrac{4a}{x^3}$. - فحص الإشارة: - إذا كان $x>0$ فان $x^3>0$ وبالتالي $f''(x)=\dfrac{4a}{x^3}>0$، أي التقعر للأعلى على $(0,\infty)$. - إذا كان $x<0$ فان $x^3<0$ وبالتالي $f''(x)<0$، أي التقعر للأسفل على $(-\infty,0)$. - إذًا: تقعر للأعلى على $(0,\infty)$ وتقعر للأسفل على $(-\infty,0)$. 8. رسم تقريبي لـ $f(x)$ وملحوظات نهائية عن الشكل: - الخصائص الأساسية التي تأخذها الرسمة: دالة فردية، تقارب عمودي عند $x=0$، تقاطع مع محور السينات عند $\pm\sqrt{2a}$، تنازلية على كل جزئي المجال، تقعر مختلف على كل جانب من $0$. - معادلة للدلالة على برامج الرسم (Desmos): $y=\frac{2a-x^2}{x}$. 9. تعريف الدالة g والشرط المعطى وحل المعادلة لِـ g(-15)=4: - نعرّف $h(x)=f(x)-b$ و $g(x)=|h(x)|$. - نحسب $f(-15)=\dfrac{2a-(-15)^2}{-15}=\dfrac{2a-225}{-15}=\dfrac{225-2a}{15}$. - شرط النقطة على المنحنى: $g(-15)=4\iff \biggl|\dfrac{225-2a}{15}-b\biggr|=4$. - نحل القيمة المطلقة إلى حالتين: - الحالة (أ): $\dfrac{225-2a}{15}-b=4\Rightarrow 225-2a=15b+60\Rightarrow 2a=165-15b\Rightarrow a=\dfrac{165-15b}{2}$. - الحالة (ب): $\dfrac{225-2a}{15}-b=-4\Rightarrow 225-2a=15b-60\Rightarrow 2a=285-15b\Rightarrow a=\dfrac{285-15b}{2}$. - هذه معادلات تربط بين $a$ و $b$ إذا اعتبرنا النقطة مجرد نقطة على منحنى $g$، ويجب أن يحقق أيضاً $a>0$ و $b>0$. - من الحالة (أ) نحتاج $165-15b>0\iff b<11$ لكي يكون $a>0$. - من الحالة (ب) نحتاج $285-15b>0\iff b<19$ لكي يكون $a>0$. - إذن إذا كان المطلوب فقط أن تكون النقطة واقعًا على منحنى $g$ فإن هناك عائلة من الحلول المعطاة أعلاه مع قيد $b>0$ وقيود النطاقين. 10. تحليل شرط أن $(-15,4)$ هي "نقطة قصوى" لـ $g(x)$ وما يترتب عليه: - لتكون نقطة داخلية قصوى أو دنيا لـ $g$ نتطلب أحد أمرين: - إما أن تكون $h(-15)=0$، أي $f(-15)-b=0$، وفي هذه الحالة تكون النقطة نقطة زاوية (cusp) لدالة القيمة المطلقة، والقيمة عندها تكون $g(-15)=0$. - أو أن تكون $h(-15)\neq 0$ وفي هذه الحالة تكون $g$ قابلة للاشتقاق عند $-15$ وشرط النقطة القصوى يتطلب $g'(-15)=0$، أي $h'(-15)=0$. - لكن لدينا $h'(-15)=f'(-15)=-1-\dfrac{2a}{(-15)^2}<0$ لأن $a>0$، والعبارة سالبة دائمًا ولا يمكن أن تكون صفرًا. - لذلك لا يمكن أن تتحقق حالة $h'(-15)=0$ لأي قيمة موجبة لـ $a$. - وإذا حاولنا أن نطبق الحالة $h(-15)=0$ فستكون قيمة $g(-15)=0$، بينما المعطى يقول $g(-15)=4$، أي تعارض واضح. - الاستنتاج: لا توجد قيم موجبة لـ $a$ و $b$ تجعل النقطة $(-15,4)$ نقطة قصوى لـ $g(x)$ بالمعنى الرياضي الداخلي. - نتيجة عملية: النقطة يمكن أن تكون فقط نقطة على منحنى $g$ (وليس نقطة قصوى)، وفي هذه الحالة $a$ و $b$ يجب أن يحققا إحدى معادلات الحالة (أ) أو الحالة (ب) أعلاه مع قيد $a>0$ و $b>0$. 11. إيجاز لقيمتين خاصتين إن طُلبت كحلين نمطيين (كمثال توضيحي): - إذا اخترنا قيمة بسيطة للـ $b$ ضمن النطاقات أعلاه نحصل على قيمة مقابلة لـ $a$. - مثال من الحالة (أ): إذا اخترنا $b=4$ نحصل $a=\dfrac{165-15\cdot 4}{2}=\dfrac{165-60}{2}=\dfrac{105}{2}=52.5$. - مثال من الحالة (ب): إذا اخترنا $b=4$ نحصل $a=\dfrac{285-15\cdot 4}{2}=\dfrac{285-60}{2}=\dfrac{225}{2}=112.5$. - هذه أمثلة توضيحية فقط لأن المعطيات الأصلية (كونها "نقطة قصوى") غير متسقة كما بينَّا. 12. الجزء الأخير: نوع النقطة القصوى لـ $s(x)=\int_{1}^{x} g(t)\,dt$ على المجال $x>1$: - وفقًا لنظرية الأساس في التفاضل والتكامل: $s'(x)=g(x)=|f(x)-b|\ge 0$ لكل $x>1$ لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة. - بالتالي $s$ دالة غير ناقصة التزايد (nondecreasing) على $(1,\infty)$. - استنتاجات ممكنة: - إذا كان $g(x)>0$ لكل $x>1$ فإن $s'(x)>0$ لذلك $s$ تزايدية بشكل صارم على $(1,\infty)$ ولا توجد نقاط ماكسموم محلية في هذا المجال. - إذا وجد نقطـة $c>1$ بحيث $g(c)=0$ فستكون تلك نقطة حرجة ويكون $s$ عندها محليًا حد أدنى (لأن حولها يكون $s'(x)\ge 0$ ويتغير من موجب إلى موجب مع قيمة صفر في النقطة)، أي نقطة دنيا محلية. - بما أن المعطيات حول $g$ وشرط النقطة القصوى المعطاة عند $-15$ لا تعطي صفراً لـ $g$ في مجال $x>1$ بالضرورة، فإن بناءً على المعلومات المتاحة، أكثر نتيجة مأمونة هي: $s$ غير ناقصة التزايد على $(1,\infty)$، وإذا لم توجد نقاط صفرية لـ $g$ في $(1,\infty)$ فإن $s$ تزايدية مما يمنع وجود نقطة قصوى محلية في هذا المجال. خلاصة سريعة بالنتائج الرئيسية: - خط التقارب العمودي: $x=0$. - الدالة فردية: $f(-x)=-f(x)$. - نقاط تقاطع مع محور السينات: $(\pm\sqrt{2a},0)$، ولا تقاطع مع محور الصادات. - المونوتونية: $f$ تنازلية على $(-\infty,0)$ و $(0,\infty)$ لأن $f'(x)=-1-\dfrac{2a}{x^2}<0$. - التقعر: تقعر لأسفل على $(-\infty,0)$ وتقعر لأعلى على $(0,\infty)$ لأن $f''(x)=\dfrac{4a}{x^3}$. - بالنسبة لـ $g$ والنقطة المعطاة $(-15,4)$: لا يمكن أن تكون نقطة قصوى داخلية لـ $g$ مع $a>0$، ولكن إذا كانت مجرد نقطة على منحنى $g$ فإن $a$ و $b$ مرتبطان بالمعادلتين: - $a=\dfrac{165-15b}{2}$ أو $a=\dfrac{285-15b}{2}$ مع قيود $b>0$ واشتراطات الإيجابية المذكورة. - للدالة $s(x)$ على $(1,\infty)$: بما أن $s'(x)=g(x)\ge 0$ فإن $s$ غير ناقصة التزايد، وإذا كان $g>0$ على ذلك المجال فـ $s$ تزايدية ولا تحتوي على نقاط قصوى محلية هناك.