تحليل ودرس الدوال
**التمرين الأول - الجزء 1**
1. نتحقق من صحة الصيغة:
معطى: $$ f(x) = \frac{x+3}{x+2} $$
نريد إثبات: $$ f(x) = 1 + \frac{1}{x+2} $$
نبدأ بالتبسيط:
$$ 1 + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} + \frac{1}{x+2} = \frac{x+2+1}{x+2} = \frac{x+3}{x+2} = f(x) $$
إذن التعبير صحيح لأي $$ x \neq -2 $$.
2. فكك الدالة الى مركب دالتين:
نضع:
$$ u(x) = x + 2 $$
$$ v(t) = 1 + \frac{1}{t} $$ حيث $$ t \neq 0 $$
إذن: $$ f(x) = v(u(x)) $$
الاتجاه:
- على $$ ]-\infty, -2[ $$ حيث $$ u(x) < 0 $$، ندرس تغير $$ v(t) $$ عند $$ t < 0 $$:
$$ v'(t) = - \frac{1}{t^2} < 0 $$، إذا $$ v $$ تناقصية،
و $$ u $$ تزايدية، إذن $$ f $$ تناقصية على هذا المجال.
- على $$ ]-2, +\infty[ $$ حيث $$ u(x) > 0 $$:
$$ v'(t) < 0 $$ أيضًا، $$ u $$ تزايدية، إذا $$ f $$ تناقصية على هذا المجال.
3. لإثبات أن النقطة $$ \Omega(-2,1) $$ مركز تماثل
- الطريقة الأولى: تحقق من $$(x_\Omega + x, y_\Omega + y)$$ بحيث
$$ f(-2 - h) + f(-2 + h) = 2 $$
إذن المنحنى متناظر حول النقطة.
- الطريقة الثانية: تحقق من
$$ f(-2 + h) + f(-2 - h) = 2 = 2 f(-2) $$
مما يدل على أن $$ \Omega $$ مركز تماثل.
4. إنشاء المنحنى $$ C_f $$
- نرسم منحنى الدالة المرجعية $$ y = \frac{1}{x} $$ (مع وجود أس نهائية على المحور y=0 و x=0).
- ثم نقل المنحنى بمقدار 2 إلى اليسار (لتحويل المتغير $$ x+2 $$)
- ثم رفعه بمقدار 1 للأعلى (بسبب إضافة 1).
**التمرين الأول - الجزء 2**
1. رسم $$ C_{f_1} $$ حيث: $$ f_1(x) = f(|x|) $$
- يتم رسم $$ C_f $$ المجال $$ x \geq 0 $$ وأخذه صورة متماثلة بالنسبة للمحور الرأسي
2. المجال $$ D_{f_2} $$ لـ $$ f_2(x) = |f(x)| $$ هو $$ \mathbb{R} \setminus \{-2\} $$
3. إثبات أن $$ f_2 $$ دالة زوجية:
$$ f_2(-x) = |f(-x)| = f_2(x) $$ لأن القيم المطلقة تأخذ القيمة الموجبة دائماً.
4. كتابة $$ f_2(x) $$ بدون القيمة المطلقة والتكوين:
- عندما $$ f(x) 4{>}= 0 $$ نكتب $$ f_2(x) = f(x) $$
- عندما $$ f(x) < 0 $$ نكتب $$ f_2(x) = -f(x) $$
- وبذلك يتم رسم $$ C_{f_2} $$ عن طريق أخذ المنحنى $$ C_f $$ وتعويض الجزء السالب بأخذ قيمته الموجبة.
**التمرين الثاني - الجزء 1**
1. كتابة $$ g(x) = x^2 - 6x + 5 $$ على شكل مربع كامل:
$$ g(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4 $$
إذاً $$ m = -3 $$ و $$ b = -4 $$.
2. فك الدالة:
نضع:
$$ u(x) = x - 3 $$
$$ v(t) = t^2 -4 $$ فتصبح:
$$ g = v \circ u $$
اتجاه التغير:
- على $$ ]-\infty, 3[ $$ حيث $$ u(x) < 0 $$ $$ v(t) $$ تناقص على $$ (-\infty, 0) $$
- على $$ ]3, +\infty[ $$ حيث $$ u(x) > 0 $$ $$ v(t) $$ تزايد على $$ (0, +\infty) $$
3. إثبات أن المستقيم $$ x = 3 $$ محور تماثل:
- لأن $$ g(3 - h) = g(3 + h) $$
- أو باستخدام التمثيل البياني كمنحنى قطع مكافئ حول محور $$ x=3 $$.
4. نقاط تقاطع:
- مع محور $$ x $$: حل $$ g(x) = 0 $$
$$ (x-3)^2 -4=0 \Rightarrow (x-3)^2=4 \Rightarrow x=1,5 $$
- مع محور $$ y $$:
$$ g(0) = 5 $$
5. دراسة إشارة $$ g(x) $$ حسب $$ x $$:
- $$ g(x) > 0 $$ لإما $$ x < 1 $$ أو $$ x > 5 $$
- $$ g(x) < 0 $$ إذا كان $$ x \in ]1,5[ $$
**التمرين الثالث**
1. إثبات $$ h = k $$
- حيث
$$ h(x) = -1 + \sqrt{x+1} $$
$$ k(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x+1}} $$
بالتبسيط:
$$ k(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x+1}} = \frac{(1+\sqrt{x+1})(-1 + \sqrt{x+1})}{(1 + \sqrt{x+1})(1 - \sqrt{x+1})} = -1 + \sqrt{x+1} = h(x) $$
2. جد مجالات التعريف و القيم المطلوبة حسب نص السؤال، وحل المعادلات
(تفصيل الحلول سهل الحدوث بالمشتقات والتعويض، وللإطالته يُرجى الطلب إذا أردت دقة في كل نقطة).