1. لنبدأ بتوضيح المشكلة: لدينا مثلث ونقطة M هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. 2. متوسطات المثلث هي القطع التي تصل كل رأس من رؤوس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل له. 3. نقطة تقاطع المتوسطات تسمى مركز الثقل أو مركز المثلث، وهي نقطة تقسم كل متوسط إلى قسمين بنسبة 2:1، حيث يكون الجزء الأقرب إلى الرأس ضعف الجزء الأقرب إلى منتصف الضلع. 4. إذا أردنا إيجاد إحداثيات نقطة M بدون افتراض، نستخدم إحداثيات رؤوس المثلث A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3). 5. نحسب منتصف كل ضلع، مثلاً منتصف الضلع BC هو $$\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$$. 6. المتوسط من A إلى منتصف BC هو القطعة التي ندرسها. 7. نقطة تقاطع المتوسطات M هي متوسط إحداثيات الرؤوس الثلاثة، أي: $$M = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$ 8. هذا يعني أن نقطة M هي مركز الثقل للمثلث ويمكن إيجادها مباشرة بدون افتراضات إضافية. 9. الخلاصة: نقطة تقاطع المتوسطات M هي متوسط إحداثيات رؤوس المثلث، وهذا هو التعريف الأساسي لها.