1. مسئله: محاسبه احتمال اینکه در عکس یادگاری، دقیقاً ۲ نفر بین دروازه‌بان و کاپیتان تیم فوتبال قرار داشته باشند، با فرض اینکه بازیکنان به طور تصادفی کنار هم قرار می‌گیرند و دروازه‌بان و کاپیتان دو نفر متفاوت هستند. 2. فرض کنیم تعداد کل بازیکنان تیم $n$ نفر باشد. در این حالت، ترتیب قرارگیری بازیکنان به صورت تصادفی است. 3. تعداد کل حالات ممکن برای ترتیب قرارگیری $n$ بازیکن برابر است با تعداد جایگشت‌های $n$ نفر: $$n!$$ 4. حال، برای اینکه دقیقاً ۲ نفر بین دروازه‌بان و کاپیتان باشند، باید این دو نفر را در موقعیت‌هایی قرار دهیم که فاصله‌شان ۳ باشد (چون بینشان ۲ نفر است). به عنوان مثال اگر دروازه‌بان در موقعیت $i$ باشد، کاپیتان باید در موقعیت $i+3$ یا $i-3$ باشد. 5. تعداد موقعیت‌های ممکن برای قرار دادن دروازه‌بان و کاپیتان با فاصله ۳ نفر به صورت زیر است: - اگر دروازه‌بان در موقعیت $i$ باشد، کاپیتان می‌تواند در موقعیت $i+3$ یا $i-3$ باشد، به شرطی که این موقعیت‌ها در بازه $1$ تا $n$ باشند. - تعداد این جفت موقعیت‌ها برابر است با $2(n-3)$، زیرا برای هر موقعیت از $1$ تا $n-3$، کاپیتان می‌تواند در موقعیت $i+3$ باشد و برای موقعیت‌های $4$ تا $n$، کاپیتان می‌تواند در موقعیت $i-3$ باشد. 6. اما چون دروازه‌بان و کاپیتان دو نفر متفاوت هستند و ترتیب آنها مهم است (دروازه‌بان اول و کاپیتان دوم یا بالعکس)، تعداد جایگشت‌های این دو نفر در این موقعیت‌ها برابر است با: $$2(n-3)$$ 7. برای هر یک از این جایگشت‌ها، بقیه $n-2$ بازیکن می‌توانند به صورت دلخواه در بقیه موقعیت‌ها قرار بگیرند که تعداد حالات آن: $$(n-2)!$$ 8. بنابراین تعداد حالات مطلوب برابر است با: $$2(n-3) \times (n-2)!$$ 9. احتمال مورد نظر برابر است با نسبت تعداد حالات مطلوب به تعداد کل حالات: $$\text{احتمال} = \frac{2(n-3) \times (n-2)!}{n!}$$ 10. با توجه به اینکه: $$n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$$ می‌توان احتمال را به صورت زیر ساده کرد: $$\text{احتمال} = \frac{2(n-3) \times (n-2)!}{n \times (n-1) \times (n-2)!} = \frac{2(n-3)}{n(n-1)}$$ 11. نتیجه نهایی: $$\boxed{\text{احتمال} = \frac{2(n-3)}{n(n-1)}}$$ این فرمول احتمال اینکه دقیقاً ۲ نفر بین دروازه‌بان و کاپیتان باشند را در یک ترتیب تصادفی از $n$ بازیکن نشان می‌دهد.