1. **مشكلة:** نريد اختبار استقلالية التدخين (يدخن/لا يدخن) عن مستوى التعليم (متعلم/غير متعلم) باستخدام اختبار كاي تربيع عند مستوى معنوية 0.5%. 2. **البيانات المعطاة:** | التعليم | لا يدخن | يدخن | |-----------|---------|-------| | متعلم | 5.295 | 4.705 | | غير متعلم | 3 | 3.29 | 3. **صيغة اختبار كاي تربيع:** $$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$ حيث $O$ هو التكرار المرصود و$E$ هو التكرار المتوقع. 4. **حساب التكرارات المتوقعة:** - مجموع الصفوف: - متعلم = $5.295 + 4.705 = 10$ - غير متعلم = $3 + 3.29 = 6.29$ - مجموع الأعمدة: - لا يدخن = $5.295 + 3 = 8.295$ - يدخن = $4.705 + 3.29 = 7.995$ - المجموع الكلي = $10 + 6.29 = 16.29$ 5. **التكرارات المتوقعة لكل خلية:** $$E_{ij} = \frac{(\text{مجموع الصف } i)(\text{مجموع العمود } j)}{\text{المجموع الكلي}}$$ - متعلم، لا يدخن: $$E = \frac{10 \times 8.295}{16.29} = 5.09$$ - متعلم، يدخن: $$E = \frac{10 \times 7.995}{16.29} = 4.91$$ - غير متعلم، لا يدخن: $$E = \frac{6.29 \times 8.295}{16.29} = 3.20$$ - غير متعلم، يدخن: $$E = \frac{6.29 \times 7.995}{16.29} = 3.09$$ 6. **حساب قيمة كاي تربيع:** $$\chi^2 = \frac{(5.295 - 5.09)^2}{5.09} + \frac{(4.705 - 4.91)^2}{4.91} + \frac{(3 - 3.20)^2}{3.20} + \frac{(3.29 - 3.09)^2}{3.09}$$ $$= \frac{0.042^2}{5.09} + \frac{(-0.205)^2}{4.91} + \frac{(-0.20)^2}{3.20} + \frac{0.20^2}{3.09}$$ $$= \frac{0.00176}{5.09} + \frac{0.042}{4.91} + \frac{0.04}{3.20} + \frac{0.04}{3.09}$$ $$= 0.00035 + 0.00856 + 0.0125 + 0.01294 = 0.03435$$ 7. **تحديد درجات الحرية ومستوى المعنوية:** - درجات الحرية = $(\text{عدد الصفوف} - 1) \times (\text{عدد الأعمدة} - 1) = (2-1)(2-1) = 1$ - مستوى المعنوية = 0.5% = 0.005 - القيمة الحرجة لكاي تربيع عند 1 درجة حرية ومستوى 0.005 هي تقريباً 7.88 8. **القرار:** - بما أن $\chi^2 = 0.03435 < 7.88$، لا نرفض الفرضية الصفرية. - إذن، لا يوجد دليل كافٍ على وجود علاقة بين التدخين والتعليم في هذه العينة. **النتيجة النهائية:** التدخين ومستوى التعليم مستقلان عند مستوى معنوية 0.5%.