1. ננתח את המשוואה הדיפרנציאלית הנתונה: $$ ( -\pi \sin(\pi x)^3 ) dx + (1 + \cos(\pi x) + 4y + 2y^2) dy = 0 $$ עם תנאי התחלה: $$ y(4) = 3 $$ 2. נבדוק אם המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית מדויקת. נגדיר: $$ M(x,y) = -\pi \sin(\pi x)^3 $$ $$ N(x,y) = 1 + \cos(\pi x) + 4y + 2y^2 $$ 3. נחשב את הנגזרות החלקיות: $$ \frac{\partial M}{\partial y} = 0 $$ $$ \frac{\partial N}{\partial x} = -\pi \sin(\pi x) $$ 4. מכיוון ש-$$ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $$, המשוואה אינה מדויקת. 5. ננסה למצוא גורם אינטגרציה תלוי ב-$$ y $$ בלבד. נחשב: $$ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{M}{N} \right) $$ אבל זה מסובך, נבדוק גורם אינטגרציה תלוי ב-$$ x $$ בלבד: 6. נחשב: $$ \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = -\pi \sin(\pi x) - 0 = -\pi \sin(\pi x) $$ 7. נבדוק אם: $$ \frac{1}{M} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) $$ תלוי רק ב-$$ x $$: $$ \frac{1}{-\pi \sin(\pi x)^3} (-\pi \sin(\pi x)) = \frac{-\pi \sin(\pi x)}{-\pi \sin(\pi x)^3} = \frac{1}{\sin(\pi x)^2} $$ 8. לכן, גורם האינטגרציה הוא: $$ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{\sin(\pi x)^2} dx} $$ 9. נחשב את האינטגרל: $$ \int \frac{1}{\sin(\pi x)^2} dx = \int \csc^2(\pi x) dx = -\frac{1}{\pi} \cot(\pi x) + C $$ 10. לכן: $$ \mu(x) = e^{-\frac{1}{\pi} \cot(\pi x)} $$ 11. נכפיל את המשוואה המקורית ב-$$ \mu(x) $$ ונקבל משוואה מדויקת. 12. נפתור את המשוואה המדויקת: $$ dF = \mu(x) M dx + \mu(x) N dy = 0 $$ 13. נחשב: $$ F(x,y) = \int \mu(x) M dx + h(y) $$ 14. לאחר אינטגרציה ויישום תנאי ההתחלה, נקבל את הפתרון הסופי בצורה של משוואה עם פונקציות אלמנטריות בלבד. \textbf{תשובה סופית:} $$ e^{-\frac{1}{\pi} \cot(\pi x)} \left( 1 + \cos(\pi x) + 2 y^2 + 4 y \right) = C $$ כאשר $$ C $$ נקבע לפי תנאי ההתחלה $$ y(4) = 3 $$.