1. הצהרת הבעיה: נתון מעגל רדיוס $R$ עם הקוטר $AB$, נקודה $C$ על המעגל כך ש$AC=k$ ו$\angle BAC=\alpha$, נקודה $D$ על המעגל עם $\angle BAD=\alpha$, האלכסונים $AC$ ו$BD$ חותכים בנקודה $M$, ונקודה $E$ על $AD$ כך ש$AD=4AE$. 2. חלק א(1) -- חישוב $\cos\alpha$: 2.1 לפי משפט תאלס זווית על קוטר היא ישרה, לכן $\angle ACB=90^\circ$ ומשולש $ABC$ ישר ב$C$. 2.2 האורך של הקוטר הוא $AB=2R$. 2.3 בטריגונומטריה במשולש ישר $\cos\alpha=\dfrac{\text{הצלע הסמוכה ל-}\alpha}{\text{היתר}}=\dfrac{AC}{AB}$. 2.4 מכאן $\cos\alpha=\dfrac{k}{2R}$. 3. חלק א(2) -- חישוב $\cos(2\alpha)$: 3.1 משתמשים בנוסחת הכפל הכפול $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1$. 3.2 מחליפים $\cos\alpha=\dfrac{k}{2R}$ ואז $\cos(2\alpha)=2\left(\dfrac{k}{2R}\right)^2-1$. 3.3 מפשטים ומקבלים $\cos(2\alpha)=\dfrac{k^2-2R^2}{2R^2}$. 4. חלק ב -- הוכחת ש$ACBD$ הוא דלתון: 4.1 מאותה זהות של חלק א נקבל בקלות בטריגונומטריה של המשולש $ABD$ ש$AD=AB\cos\alpha=2R\cos\alpha=k$. 4.2 כמו כן, כי $\angle BAC=\angle BAD=\alpha$, בזוויות הנמצאות על אותו הקשת שוות, ולכן המיתרים הניצבים להן שווים ו$BC=BD$. 4.3 לכן יש לנו $AC=AD=k$ וצלעות סמוכות אחרות שוות $BC=BD$, כלומר שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן $ACBD$ הוא דלתון. 5. חלק ג -- ביטוי עבור $MC^2$ בעזרת $k$ ו$R$: 5.1 נשתמש בקואורדינטות עם מרכז המעגל ב-$O(0,0)$, נניח $A(-R,0)$ ו$B(R,0)$. 5.2 נקודה כללית על המעגל ניתנת כ$(x,y)$ עם $x^2+y^2=R^2$. 5.3 התנאי $AC=k$ נותן $(x+R)^2+y^2=k^2$, ולכן לאחר שימוש ב$x^2+y^2=R^2$ נקבל $x=\dfrac{k^2-2R^2}{2R}$. 5.4 נסמן $h=\sqrt{R^2-x^2}$ ולכן אפשר לבחור $C=(x,-h)$ ו$D=(x,h)$. 5.5 האלכסון $AC$ הוא מקטע מא' ל-$C$ ולכן אורך $AC=k$ ומקדם החיתוך של $M$ על $AC$ נמצא על ידי חישוב חיתוך הישרים; מצאנו את הפרמטר $t$ כך ש$M=A+t(C-A)$ ומתקיים $t=\dfrac{R}{x}$. 5.6 לכן $AM=t\,AC=k\dfrac{R}{x}$ ונקבל $MC=AC-AM=k\left(1-\dfrac{R}{x}\right)$. 5.7 מחליפים את $x$ בעבור $k$ ו$R$ ומקבלים $MC=k\dfrac{k^2-4R^2}{k^2-2R^2}$. 5.8 מכיוון שאורך הוא חיובי, ונדרש $MC^2$, נקבל $MC^2=k^2\dfrac{(4R^2-k^2)^2}{(2R^2-k^2)^2}$. 6. חלק ד -- ביטוי עבור $CE^2$ בעזרת $k$ ו$R$: 6.1 מכיוון ש$AD=k$ ו$AD=4AE$ אז $AE=\dfrac{k}{4}$ ולכן נקודה $E$ מחלקת את המקטע $AD$ בפרופורציה $1:3$ מ-$A$ ל-$D$. 6.2 בעזרת קואורדינטות נקבל $E=\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{3R}{4},\,\dfrac{h}{4}\right)$. 6.3 ההבדל המעשׁי בין $C(x,-h)$ ל-$E$ מוביל לחישוב $CE^2=\left(-\dfrac{3}{4}(x+R)\right)^2+\left(\dfrac{5}{4}h\right)^2$. 6.4 לאחר פישוט והשמת $h^2=R^2-x^2$ וממשוואת $x=\dfrac{k^2-2R^2}{2R}$ מתקבל ביטוי פשוט: $CE^2=\dfrac{k^2\left(25R^2-4k^2\right)}{16R^2}$. 7. חלק ה -- פתרון היחס $k/R$ מהנתון $CE=\sqrt{2}\,MC$: 7.1 מריבוע המשוואה נקבל $CE^2=2MC^2$. 7.2 מחליפים את הביטויים מהסעיפים הקודמים ונקבל אחרי ביטול של $k^2$ את המשוואה $\dfrac{25-4u}{16}=2\dfrac{(u-4)^2}{(u-2)^2}$ כאשר הגדרנו $u=\dfrac{k^2}{R^2}$. 7.3 המשוואה מובילה לקירוב נומרי עבור $u$, והפתרון הריאלי המתאים נמצא בקירוב כ$u\approx 3.239$. 7.4 לכן $\dfrac{k}{R}=\sqrt{u}\approx 1.800$. 7.5 מסקנה סופית: $\cos\alpha=\dfrac{k}{2R}$, $\cos(2\alpha)=\dfrac{k^2-2R^2}{2R^2}$, $MC^2=k^2\dfrac{(4R^2-k^2)^2}{(2R^2-k^2)^2}$, $CE^2=\dfrac{k^2(25R^2-4k^2)}{16R^2}$, ובמקרה הנתון $\dfrac{k}{R}\approx 1.800$.