1. Задача: Знайти інтервал довіри для ймовірності успіху $p$ у біноміальному розподілі з параметрами $p=0.8$, $n=500$ та похибкою $=0.03$. 2. Формула для довірчого інтервалу для ймовірності успіху $p$ у біноміальному розподілі при великому $n$ (нормальне наближення): $$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ де $\hat{p}$ - вибіркова ймовірність успіху (тут $p=0.8$), $z_{\alpha/2}$ - квантиль нормального розподілу для рівня значущості $\alpha$, $n$ - обсяг вибірки. 3. Визначимо $z_{\alpha/2}$ для похибки $\varepsilon=0.03$. Похибка пов'язана з довжиною інтервалу: $$\varepsilon = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$ 4. Знайдемо $z_{\alpha/2}$: $$z_{\alpha/2} = \frac{\varepsilon}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} = \frac{0.03}{\sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{500}}} = \frac{0.03}{\sqrt{0.00032}} = \frac{0.03}{0.01789} \approx 1.677$$ 5. Знайдемо довірчий інтервал: $$0.8 \pm 1.677 \times 0.01789 = 0.8 \pm 0.03$$ 6. Отже, довірчий інтервал для $p$: $$[0.77, 0.83]$$ Це означає, що з ймовірністю, відповідною $z_{\alpha/2}$, справжнє значення ймовірності успіху $p$ знаходиться в інтервалі від 0.77 до 0.83.