1. Задачата бара да се испита дали дадените редови се конвергентни. 2. За редот (a): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \] Овој ред е геометриски со дополнителен фактор $n$ во бројителот. Можеме да го решиме користејќи формулата за сума на ред со фактор $n$: \[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad \text{за } |x|<1 \] Тука $x=\frac{1}{2}$, па: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \] Значи, редот е конвергентен и сумата е 2. 3. За редот (б): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \] Овој ред е дел од експоненцијалната серија за $e^x$: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x \] Значи, ако го вклучиме и $n=0$ членот, добиваме: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = e^3 \] Откако $n=0$ членот е $\frac{3^0}{0!} = 1$, редот од $n=1$ е: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} = e^3 - 1 \] Овој ред е конвергентен бидејќи експоненцијалната серија е конвергентна за сите реални броеви. 4. Заклучок: - Редот (a) е конвергентен со сума 2. - Редот (б) е конвергентен со сума $e^3 - 1$.