1. **Постановка задачи:** Привести к каноническому виду уравнение $$u_{xy} - 2 u_{yz} + u_{xz} + u_z + \tfrac{1}{2} u_y = 0.$$ 2. **Характеристическая квадратичная форма:** $$Q(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \lambda_1 \lambda_2 - 2 \lambda_1 \lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3.$$ 3. **Приведение формы к каноническому виду методом выделения полных квадратов:** Нам нужно найти преобразование переменных $$\nu_i$$ и $$\xi_i$$ для канонического вида. 4. Следуем алгоритму: - Вводим новые переменные $$\nu_1, \nu_2, \nu_3$$ через линейные комбинации $$\lambda_i$$ (задано в условии, например $$\nu_1 = \lambda_1 - \lambda_2$$ и т.д.). - Расписываем квадратные выражения, используя выделение полного квадрата и сводим исходную форму к сумме разности квадратов: $$Q = \frac{1}{4} (\nu_1 - \nu_3)^2 - \frac{1}{4} (\nu_2 + 3 \nu_3)^2 + 2 \nu_3^2.$$ 5. Теперь вводим $$\xi_1 = \nu_1 - \nu_3, \xi_2 = \nu_2 + 3 \nu_3, \xi_3 = \nu_3$$ и имеем: $$Q = - \frac{1}{4} \xi_1^2 - \frac{1}{4} \xi_2^2 + 2 \xi_3^2.$$ 6. Наконец, вводим $$\mu_1 = \frac{\mathrm{i}}{2} \xi_1, \mu_2 = \frac{\mathrm{i}}{2} \xi_2, \mu_3 = \sqrt{2} \xi_3,$$ чтобы записать форму в стандартном виде: $$Q = \mu_1^2 - \mu_2^2 + \mu_3^2,$$ где $$\mathrm{i}$$ — мнимая единица. 7. Матрицы преобразований $$A$$ и $$\Gamma = (A^T)^{-1}$$ записываются из системы по формулам выше и служат для перехода от переменных $$\lambda$$ к $$\mu$$ или от исходных координат к $$\xi$$. **Ответ:** Канонический вид для характеристической квадратичной формы $$Q = \mu_1^2 - \mu_2^2 + \mu_3^2,$$ который соответствует приведению исходного уравнения к каноническому типу в новых переменных.