1. Задачата е да намерим общото решение на диференциалното уравнение, което съответства на даденото поле на направленията. 2. Полето на направленията показва симетрия около оста y и изглежда свързано с функции, включващи квадрати на x и y, както и експоненциални функции с аргументи, свързани с $x^2$. 3. Възможните отговори са: - А: $y = ce^x - x - 1$ - Б: $y = ce^{\frac{x^2}{2}}$ - В: $y = ce^{-\frac{x^2}{2}}$ - Г: $y^2 - x^2 = C$ - Д: $x^2 + y^2 = C$ 4. Да анализираме всеки вариант: - А: $y = ce^x - x - 1$ включва линейна и експоненциална част, но не е симетрично по отношение на $x^2$. - Б: $y = ce^{\frac{x^2}{2}}$ е експоненциална функция с положителен аргумент $x^2/2$, което води до бързо растящи стойности за големи $|x|$. - В: $y = ce^{-\frac{x^2}{2}}$ е експоненциална функция с отрицателен аргумент $-x^2/2$, което води до форма на звънец, симетрична около $x=0$. - Г: $y^2 - x^2 = C$ е уравнение на хипербола, което не съответства на експоненциалните форми. - Д: $x^2 + y^2 = C$ е уравнение на окръжност, което не съответства на посоченото поле. 5. Полето на направленията и симетрията подсказват, че решението е от вида $y = ce^{-\frac{x^2}{2}}$ (вариант В), тъй като това решение дава гладка, симетрична форма, която съответства на посоченото поле. 6. Следователно, общото решение на диференциалното уравнение е: $$y = ce^{-\frac{x^2}{2}}$$ където $c$ е произволна константа.