1. **Паралелограм і рівні сторони:** Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні. Позначимо сторони паралелограма як $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Тоді $AB = CD$ і $BC = DA$. 2. **Квадрат і рівні елементи:** Квадрат — це паралелограм з усіма сторонами рівними і всіма кутами по 90°. Якщо сторони квадрата позначити як $a$, то всі сторони рівні: $AB = BC = CD = DA = a$, а кути: $90^\circ$. 3. **Паралелограм з усіма рівними сторонами:** Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом. 4. **Знаходження кутів ромба:** Дано: один кут ромба дорівнює $48^\circ$. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то протилежний кут також $48^\circ$. Сума суміжних кутів дорівнює $180^\circ$, отже суміжний кут: $$180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$$ Отже, кути ромба: $48^\circ$, $132^\circ$, $48^\circ$, $132^\circ$. 5. **Знаходження сторін прямокутника:** Нехай сторони прямокутника $x$ і $y$. Дано: $x + y = 10$ (сума двох протилежних сторін) і периметр $P = 24$. Периметр прямокутника: $$P = 2(x + y) = 24$$ Отже: $$2(x + y) = 24 \Rightarrow x + y = 12$$ Але умова дає $x + y = 10$, що суперечить. Можливо, мається на увазі сума двох протилежних сторін (одна пара) дорівнює 10, а не обох пар. Якщо сума двох протилежних сторін (одна пара) дорівнює 10, тоді: $$x + x = 10 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$$ Периметр: $$P = 2(x + y) = 24 \Rightarrow x + y = 12$$ Підставляємо $x=5$: $$5 + y = 12 \Rightarrow y = 7$$ Отже, сторони прямокутника: $5$ см і $7$ см. 6. **Периметр паралелограма з бісектрисою тупого кута:** Бісектриса тупого кута ділить протилежну сторону на відрізки 12 см і 8 см. Сума цих відрізків: $$12 + 8 = 20$$ Це довжина сторони паралелограма, яку ділить бісектриса. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, друга сторона позначимо як $a$. Периметр: $$P = 2(a + 20)$$ Для знаходження $a$ використаємо властивість бісектриси паралелограма: вона ділить протилежну сторону пропорційно суміжним сторонам. Отже: $$\frac{12}{8} = \frac{a}{20} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{a}{20} \Rightarrow a = 30$$ Периметр: $$P = 2(30 + 20) = 2 \times 50 = 100$$ Отже, периметр паралелограма дорівнює 100 см. 7. **Знаходження кутів чотирикутника:** Кути пропорційні числам 1, 3, 4, 10. Сума кутів чотирикутника: $$360^\circ$$ Нехай множник пропорції $k$. Тоді кути: $$k, 3k, 4k, 10k$$ Сума: $$k + 3k + 4k + 10k = 18k = 360^\circ \Rightarrow k = 20^\circ$$ Отже, кути: $$20^\circ, 60^\circ, 80^\circ, 200^\circ$$ 8. **Кут між висотами паралелограма:** Дано: один кут паралелограма $60^\circ$. Протилежний кут: $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ Висоти паралелограма перпендикулярні до сторін. Кут між висотами дорівнює різниці між $180^\circ$ і сумою кутів паралелограма: $$\text{Кут між висотами} = 180^\circ - 60^\circ - 120^\circ = 0^\circ$$ Але це неможливо, тому кут між висотами дорівнює куту, доповняльному до меншого кута паралелограма: $$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$ Отже, кут між висотами дорівнює $120^\circ$.