1. Задача: Найти апофеому правильного треугольника, если она равна $\frac{3\sqrt{6}}{2}$.\n\n2. Апофеома правильного треугольника — это высота, опущенная из центра вписанной окружности к стороне треугольника. Формула апофеомы $a$ через сторону $s$ равностороннего треугольника: $$a = \frac{\sqrt{3}}{6} s.$$\n\n3. Подставим известное значение апофеомы и выразим сторону $s$: $$\frac{3\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} s.$$\n\n4. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя: $$6 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3} s \Rightarrow 9\sqrt{6} = \sqrt{3} s.$$\n\n5. Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $$s = \frac{9\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 9 \sqrt{\frac{6}{3}} = 9 \sqrt{2}.$$\n\n6. Ответ: сторона равностороннего треугольника равна $9\sqrt{2}$.