1. Задача: Застосувати формулу Стокса для обчислення криволінійного інтеграла векторного поля по замкненому контуру. 2. Формула Стокса пов'язує криволінійний інтеграл векторного поля $\mathbf{F}$ по замкненому контуру $C$ з поверхневим інтегралом ротора $\mathbf{F}$ по поверхні $S$, обмеженій контуром $C$: $$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$ 3. Важливі правила: - Контур $C$ повинен бути орієнтований так, щоб напрямок обходу відповідав напрямку нормалі поверхні $S$ за правилом правої руки. - Ротор векторного поля $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ обчислюється як $$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$$ 4. Кроки розв'язання: - Задати векторне поле $\mathbf{F}$. - Обчислити $\nabla \times \mathbf{F}$. - Вибрати поверхню $S$, обмежену контуром $C$, та її нормаль. - Обчислити поверхневий інтеграл $\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$. - Результат дорівнює криволінійному інтегралу по контуру $C$. 5. Таким чином, формула Стокса дозволяє замінити інтеграл по контуру на інтеграл по поверхні, що часто спрощує обчислення.