1. Θέμα Α1: Πότε δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά; Δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά όταν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παραλλήλες ευθείες και έχουν την ίδια ή αντίθετη διεύθυνση. Συγκεκριμένα, για μη μηδενικά διανύσματα $"){\vec{u}}$ και $"){\vec{v}}$ λέμε $"){\vec{u}\parallel\vec{v}}$ όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός $"){\lambda}$ τέτοιος ώστε $"){\vec{u}=\lambda\vec{v}}$. Επιπλέον, το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με κάθε διάνυσμα. 2. Θέμα Α2: Απόδειξη ότι για διανύσματα $\vec{\alpha}=(x_1,y_1)$ και $\vec{\beta}=(x_2,y_2)$ ισχύει $\vec{\alpha}\parallel\vec{\beta}\Longleftrightarrow\vec{\alpha}=\lambda\vec{\beta}$ (για μη μηδενικά διανύσματα). (α) Αν $\vec{\alpha}=\lambda\vec{\beta}$ για κάποιο $\lambda\in\mathbb{R}$, τότε τα διάνυσματα έχουν την ίδια ή αντίθετη διεύθυνση, άρα είναι παράλληλα. Αυτό είναι άμεσο επειδή πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα $\vec{\beta}$ με τον βαθμωτό $\lambda$ αλλάζει μόνο μέτρο και πιθανώς φορά. (β) Αν $\vec{\alpha}\parallel\vec{\beta}$ και $\vec{\beta}\neq\vec{0}$, τότε τα συστατικά ικανοποιούν την αναλογία $\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}$, ή ισοδύναμα ο προσδιοριστής είναι μηδέν, δηλαδή $$x_1y_2-x_2y_1=0.$$ Αν $x_2\neq0$ ορίζουμε $\lambda=\dfrac{x_1}{x_2}$ και ελέγχουμε ότι τότε $y_1=\lambda y_2$, επομένως $\vec{\alpha}=\lambda\vec{\beta}$. Αν $x_2=0$ τότε λόγω του $x_1y_2-x_2y_1=0$ προκύπτει $x_1=0$ και αν $y_2\neq0$ ορίζουμε $\lambda=\dfrac{y_1}{y_2}$ και πάλι $\vec{\alpha}=\lambda\vec{\beta}$. Σημείωση: Αν κάποιο από τα διανύσματα είναι το μηδενικό, τότε η διπλή πρόταση πρέπει να ερμηνευτεί προσεκτικά, καθώς $\vec{0}$ είναι συγγραμμικό με κάθε διάνυσμα αλλά $\vec{\alpha}=\lambda\vec{\beta}$ με $\vec{\beta}=\vec{0}$ συνεπάγεται $\vec{\alpha}=\vec{0}$. 3. Θέμα Α3: Σχολιασμός των προτάσεων. Δεν δίνονται οι συγκεκριμένες προτάσεις στο κείμενο που λάβαμε, επομένως δεν είναι δυνατόν να χαρακτηριστούν ως σωστές ή λανθασμένες χωρίς τις προτάσεις αυτές. Για να απαντήσω χρειάζομαι το πλήρες κείμενο των προτάσεων. 4. Θέμα Β1: Να εκφραστούν τα διανύσματα $\overrightarrow{Β\Delta}$ και $\overrightarrow{Β\Gamma}$ συναρτήσει των διανυσμάτων $\vec{\alpha}$ και $\vec{\beta}$. Το πρόβλημα Β απαιτεί πληροφορία από το σχήμα ή τις σχέσεις τοποθεσίας των σημείων Β, Γ, Δ και των διανυσμάτων $\vec{\alpha},\vec{\beta}$, που δεν παρέχεται στο κείμενο. Χωρίς τον σαφή ορισμό ποιο διάνυσμα αντιστοιχεί σε ποιες ακμές/σημεία δεν μπορούμε να δώσουμε έγκυρη έκφραση. Γενική μέθοδος: αν για παράδειγμα $\vec{\alpha}=\overrightarrow{Β\Gamma}$ και $\vec{\beta}=\overrightarrow{Β\Delta}$ τότε οι ζητούμενες εκφράσεις είναι απλές (ίδιες με $\vec{\alpha},\vec{\beta}$ αντίστοιχα) ή συνδυασμοί τους ανάλογα με τις σχέσεις στο σχήμα. 5. Θέμα Β2: Απόδειξη ότι $\overrightarrow{Β\Delta}=3\,\overrightarrow{Β\Gamma}$. Αυτή η απόδειξη απαιτεί τις θέσεις των σημείων στο σχήμα ή τις αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ $\overrightarrow{Β\Delta}$ και $\overrightarrow{Β\Gamma}$ που δεν δίνονται εδώ. Χωρίς την αρχική πληροφορία δεν είναι δυνατόν να αποδείξουμε την ισότητα. 6. Θέμα Β3: Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά. Η συνευθειακότητα προκύπτει αν και μόνο αν τα διανύσματα $\overrightarrow{Β\Gamma}$ και $\overrightarrow{Β\Delta}$ είναι παράλληλα. Χωρίς τα αριθμητικά ή σχηματικά δεδομένα δεν μπορούμε να ελέγξουμε την παραλληλία. Αν όμως ισχύει $\overrightarrow{Β\Delta}=3\,\overrightarrow{Β\Gamma}$ τότε άμεσα τα σημεία είναι συνευθειακά, επειδή ένα διάνυσμα είναι κλιμάκιο του άλλου. 7. Θέμα Γ1: Δίνονται $\vec{u}=(x^2+1,y^2+1)$ και $\vec{v}=(2x,2y)$ και δίνεται $\vec{u}=\vec{v}$. Να δείξετε ότι $x=1$ και $y=1$. Ισοσταθμίζουμε συνιστώσες: Πρώτη συνιστώσα: $x^2+1=2x$. Αναδιατάσσοντας: $x^2-2x+1=0$. Παραγοντοποιούμε: $(x-1)^2=0$. Άρα $x=1$. Δεύτερη συνιστώσα: $y^2+1=2y$. Αναδιατάσσοντας: $y^2-2y+1=0$. Παραγοντοποιούμε: $(y-1)^2=0$. Άρα $y=1$. Συμπέρασμα: $x=1$ και $y=1$. 8. Θέμα Γ2: Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του $\vec{u}$. Από το προηγούμενο έχουμε $\vec{u}=(2,2)$ όταν $x=y=1$. Ο συντελεστής διεύθυνσης (κλίση) είναι $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{2}=1$. Άρα ο συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{u}$ είναι $1$. 9. Θέμα Γ3: Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα $\vec{u}$ και $-\vec{u}$ με τον άξονα x'x. Το διάνυσμα $\vec{u}=(2,2)$ έχει κλίση $1$, επομένως η γωνία του με τον θετικό ημιάξονα $x$ είναι $\theta=\arctan(1)=45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$. Το διάνυσμα $-\vec{u}=(-2,-2)$ έχει φορά αντίθετη, επομένως η γωνία του με τον ίδιο θετικό άξονα είναι $\theta+180^\circ=225^\circ=\dfrac{5\pi}{4}$. 10. Θέμα Δ1: Δίνονται $A(1,2)$, $B(3,-4)$ και σημείο $\Gamma$ για το οποίο ισχύει $\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{AB}+3\,\overrightarrow{A\Gamma}$, όπου $O$ η αρχή των αξόνων. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του $\Gamma$. Γράφουμε σε συντεταγμένες: $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,-4-2)=(2,-6)$. Έστω $\Gamma=(x,y)$. Τότε $\overrightarrow{A\Gamma}=(x-1,y-2)$ και $\overrightarrow{O\Gamma}=(x,y)$. Η σχέση γίνεται: $(x,y)=(2,-6)+3(x-1,y-2)$. Αναπτύσσουμε το δεξιό μέλος: $(2,-6)+3(x-1,y-2)=(2+3x-3,-6+3y-6)=(3x-1,3y-12)$. Ισοσταθμίζουμε συνιστώσες: $x=3x-1$ και $y=3y-12$. Από την πρώτη: $-2x=-1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$. Από τη δεύτερη: $-2y=-12\Rightarrow y=6$. Άρα $\Gamma=\left(\dfrac{1}{2},6\right)$. 11. Θέμα Δ2: Αν $\Gamma(1/2,6)$, να δείξετε ότι τα σημεία $A,B,\Gamma$ είναι κορυφές τριγώνου. Τα σημεία είναι κορυφές τριγώνου αν δεν είναι συνευθειακά. Υπολογίζουμε τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}=(2,-6)$ και $\overrightarrow{A\Gamma}=\left(-\dfrac{1}{2},4\right)$. Ελέγχουμε αν είναι παράλληλα, δηλαδή αν υπάρχει $\lambda$ τέτοιο που $(2,-6)=\lambda\left(-\dfrac{1}{2},4\right)$. Αν υπήρχε, από την πρώτη συνιστώσα θα είχαμε $\lambda=\dfrac{2}{-1/2}=-4$. Από τη δεύτερη συνιστώσα απαιτείται $-6=-4\cdot 4=-16$, που είναι ψευδές. Άρα τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα και συνεπώς τα σημεία $A,B,\Gamma$ δεν είναι συνευθειακά. Συμπέρασμα: Τα $A,B,\Gamma$ είναι κορυφές μη εκφυλισμένου τριγώνου. 12. Θέμα Δ3: Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου $AM$ του τριγώνου $A B \Gamma$, όπου $M$ το μέσον της πλευράς $B\Gamma$. Υπολογίζουμε το μέσον $M$ της $B(3,-4)$ και $\Gamma(1/2,6)$. Έχουμε $M=\left(\dfrac{3+1/2}{2},\dfrac{-4+6}{2}\right)=\left(\dfrac{7/2}{2},\dfrac{2}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{4},1\right)$. Το διάνυσμα $\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{7}{4}-1,1-2\right)=\left(\dfrac{3}{4},-1\right)$. Το μήκος $AM=\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{16}+1}=\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$. Άρα $AM=\dfrac{5}{4}$. 13. Θέμα Δ4: Να βρεθεί το συμμετρικό σημείο $B'$ της κορυφής $B$ ως προς το μέσον της πλευράς $A\Gamma$ του τριγώνου $A B \Gamma$. Υπολογίζουμε πρώτα το μέσον $N$ της πλευράς $A(1,2)$ και $\Gamma(1/2,6)$. $N=\left(\dfrac{1+1/2}{2},\dfrac{2+6}{2}\right)=\left(\dfrac{3/2}{2},4\right)=\left(\dfrac{3}{4},4\right)$. Το σημείο $B'$ είναι το συμμετρικό του $B(3,-4)$ ως προς $N$, άρα $N$ είναι το μέσον του $BB'$, επομένως $B'=2N-B$. Υπολογίζουμε τις συντεταγμένες: $x_{B'}=2\cdot\dfrac{3}{4}-3=\dfrac{3}{2}-3=-\dfrac{3}{2}$. $y_{B'}=2\cdot 4-(-4)=8+4=12$. Άρα $B'=\left(-\dfrac{3}{2},12\right)$. Τελικά αποτελέσματα συνοπτικά. A1: Ορισμός και παρατήρηση για το μηδενικό διάνυσμα. A2: Απόδειξη ισοδυναμίας για μη μηδενικά διανύσματα. A3: Απαιτούνται οι προτάσεις για απάντηση. B1-B3: Απαιτούνται τα σχήματα ή οι επιπλέον σχέσεις για να δοθούν ακριβείς εκφράσεις/αποδείξεις. G1: $x=1,\ y=1$. G2: Συντελεστής διεύθυνσης του $\vec{u}$ είναι $1$. G3: Γωνίες με τον άξονα x: $\dfrac{\pi}{4}$ και $\dfrac{5\pi}{4}$. D1: $\Gamma=\left(\dfrac{1}{2},6\right)$. D2: Τα $A,B,\Gamma$ σχηματίζουν τρίγωνο (δεν είναι συνευθειακά). D3: $AM=\dfrac{5}{4}$. D4: $B'=\left(-\dfrac{3}{2},12\right)$.