1. \textbf{Δήλωση του προβλήματος:} Έχουμε δύο διανύσματα $x, y \in \mathbb{R}^n$ που διαφέρουν πολύ μόνο σε 3 συνιστώσες, ενώ στις υπόλοιπες $n-3$ συνιστώσες είναι σχεδόν ίσα. 2. \textbf{Ορισμοί των νόρμων:} - Η νόρμα 1 (νόρμα Manhattan) ορίζεται ως: $$\|x-y\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|$$ - Η νόρμα 2 (Ευκλείδεια νόρμα) ορίζεται ως: $$\|x-y\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$$ - Η νόρμα άπειρο (νόρμα μέγιστης απόλυτης τιμής) ορίζεται ως: $$\|x-y\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i|$$ 3. \textbf{Ανάλυση:} Επειδή $x$ και $y$ διαφέρουν πολύ μόνο σε 3 συνιστώσες, οι υπόλοιπες $n-3$ συνιστώσες έχουν σχεδόν μηδενική διαφορά. 4. \textbf{Συμπέρασμα για κάθε νόρμα:} - Η νόρμα 1 είναι το άθροισμα των απόλυτων διαφορών. Επειδή μόνο 3 όροι είναι μεγάλοι, το άθροισμα θα είναι περίπου το άθροισμα αυτών των 3 μεγάλων διαφορών. - Η νόρμα 2 είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών. Επίσης, μόνο 3 όροι συμβάλλουν σημαντικά. - Η νόρμα άπειρο είναι η μέγιστη απόλυτη διαφορά σε μία συνιστώσα, δηλαδή η μεγαλύτερη από τις 3 μεγάλες αποκλίσεις. 5. \textbf{Σύγκριση:} Η νόρμα 1 είναι το άθροισμα των 3 μεγάλων διαφορών, η νόρμα 2 είναι η ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων τους, και η νόρμα άπειρο είναι το μέγιστο από αυτές. 6. \textbf{Ιδιότητες:} Για κάθε διάνυσμα $v$ ισχύει: $$\|v\|_\infty \leq \|v\|_2 \leq \|v\|_1$$ 7. \textbf{Τελικό συμπέρασμα:} Επειδή μόνο 3 συνιστώσες έχουν μεγάλες διαφορές, η νόρμα 1 θα είναι η μεγαλύτερη, η νόρμα 2 ενδιάμεση και η νόρμα άπειρο η μικρότερη από τις τρεις. \textbf{Άρα,} $$\|x-y\|_1 > \|x-y\|_2 > \|x-y\|_\infty$$