1. Δίνεται ότι τα διανύσματα $\alpha$ και $\beta$ έχουν μέτρα $|\alpha|=2$ και $|\beta|=1$ και η γωνία μεταξύ τους είναι $\frac{2\pi}{3}$. Πρέπει να βρούμε το εσωτερικό τους γινόμενο $\alpha \cdot \beta$. 2. Ο τύπος για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι: $$\alpha \cdot \beta = |\alpha||\beta|\cos(\theta)$$ όπου $\theta$ η γωνία μεταξύ τους. 3. Αντικαθιστούμε τις τιμές: $$\alpha \cdot \beta = 2 \times 1 \times \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ 4. Υπολογίζουμε το $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$ που ισούται με $-\frac{1}{2}$: $$\alpha \cdot \beta = 2 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$ 5. Άρα, το εσωτερικό γινόμενο είναι $-1$. --- 6. Τώρα, θέλουμε να βρούμε ένα διάνυσμα $\chi$ τέτοιο ώστε: - $\chi$ παράλληλο στο $\alpha - \beta$ - Το διάνυσμα $\chi - 3\beta$ κάθετο στο $2\alpha$ 7. Επειδή $\chi$ είναι παράλληλο στο $\alpha - \beta$, υπάρχει αριθμός $k$ τέτοιος ώστε: $$\chi = k(\alpha - \beta)$$ 8. Η ορθογωνιότητα του $\chi - 3\beta$ με το $2\alpha$ σημαίνει: $$(\chi - 3\beta) \cdot (2\alpha) = 0$$ 9. Αντικαθιστούμε $\chi$: $$\left(k(\alpha - \beta) - 3\beta\right) \cdot (2\alpha) = 0$$ 10. Ανοίγουμε το εσωτερικό γινόμενο: $$2k(\alpha - \beta) \cdot \alpha - 6\beta \cdot \alpha = 0$$ 11. Υπολογίζουμε τα εσωτερικά γινόμενα: - $\alpha \cdot \alpha = |\alpha|^2 = 2^2 = 4$ - $\beta \cdot \alpha = \alpha \cdot \beta = -1$ 12. Άρα: $$2k(4 - (-1)) - 6(-1) = 0$$ $$2k(5) + 6 = 0$$ $$10k + 6 = 0$$ 13. Λύνουμε για $k$: $$k = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$$ 14. Τελικά, το διάνυσμα $\chi$ είναι: $$\chi = -\frac{3}{5}(\alpha - \beta)$$ --- **Τελικές απαντήσεις:** - Το εσωτερικό γινόμενο $\alpha \cdot \beta = -1$ - Το διάνυσμα $\chi = -\frac{3}{5}(\alpha - \beta)$