1. Δίνεται το διάνυσμα $\mathbf{v}$ με $|\mathbf{v}|=2$ και γωνία $2\pi$. 2. α) Να βρούμε το εσωτερικό διάνυσμα $3\mathbf{v}$. 3. Ο τύπος για το πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό είναι: $$3\mathbf{v} = 3 \times \mathbf{v}$$ 4. Επειδή το μέτρο του $\mathbf{v}$ είναι 2, το μέτρο του $3\mathbf{v}$ είναι: $$|3\mathbf{v}| = 3 \times |\mathbf{v}| = 3 \times 2 = 6$$ 5. Η κατεύθυνση παραμένει ίδια, δηλαδή $2\pi$. 6. Άρα το εσωτερικό διάνυσμα $3\mathbf{v}$ έχει μέτρο 6 και γωνία $2\pi$. 7. β) Να βρούμε το διάνυσμα $\mathbf{x}$ που ισχύει $\mathbf{x} = \mathbf{a}' - \mathbf{b}'$ και να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των $\mathbf{a}'$ και $\mathbf{b}'$. 8. Ο γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων $\mathbf{a}'$ και $\mathbf{b}'$ είναι: $$\mathbf{x} = \alpha \mathbf{a}' + \beta \mathbf{b}'$$ 9. Από την εξίσωση $\mathbf{x} = \mathbf{a}' - \mathbf{b}'$ προκύπτει: $$\alpha = 1, \quad \beta = -1$$ 10. Άρα το διάνυσμα $\mathbf{x}$ είναι: $$\mathbf{x} = 1 \cdot \mathbf{a}' + (-1) \cdot \mathbf{b}' = \mathbf{a}' - \mathbf{b}'$$ 11. Συνοψίζοντας, το $3\mathbf{v}$ έχει μέτρο 6 και γωνία $2\pi$, και το $\mathbf{x}$ είναι γραμμικός συνδυασμός $\mathbf{a}'$ και $\mathbf{b}'$ με συντελεστές 1 και -1 αντίστοιχα.