1. Το πρόβλημα: Να εξετάσουμε αν κάθε τετραγωνικός πίνακας με θετικά διαγώνια στοιχεία έχει αντίστροφο. 2. Ορισμοί και βασικές έννοιες: - Τετραγωνικός πίνακας: Πίνακας με ίσο αριθμό γραμμών και στηλών. - Αντίστροφος πίνακας: Ένας πίνακας $A^{-1}$ τέτοιος ώστε $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, όπου $I$ είναι ο μοναδιαίος πίνακας. 3. Κριτήριο αντιστρεψιμότητας: Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσάς του είναι διάφορη του μηδενός, δηλαδή $\det(A) \neq 0$. 4. Σημαντικό: Το γεγονός ότι τα διαγώνια στοιχεία είναι θετικά δεν εγγυάται ότι ο πίνακας έχει μη μηδενική ορίζουσα. Υπάρχουν πίνακες με θετικά διαγώνια στοιχεία που έχουν μηδενική ορίζουσα και άρα δεν έχουν αντίστροφο. 5. Συμπέρασμα: Η πρόταση "Κάθε τετραγωνικός πίνακας με θετικά διαγώνια στοιχεία έχει αντίστροφο" είναι **Λάθος**. Παράδειγμα: Ο πίνακας $A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ έχει θετικά διαγώνια στοιχεία (1 και -1 δεν είναι θετικό, αλλά αν θεωρήσουμε θετικά διαγώνια στοιχεία, π.χ. $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, η ορίζουσα είναι $1\cdot1 - 1\cdot1 = 0$, άρα δεν έχει αντίστροφο. Άρα η απάντηση είναι **Λάθος**.