1. **Δίνεται το πρόβλημα:** Έχουμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΒΑ=ΒΓ και ΔΑ=ΔΓ, οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες και τέμνονται κάθετα. 2. **Να αποδείξουμε:** α) Η ΒΔ είναι διχοτόμος των γωνιών Β και Δ. β) Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ. 3. **Σημαντικές παρατηρήσεις και τύποι:** - Διχοτόμος γωνίας είναι η ευθεία που χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσα μέρη. - Μεσοκάθετος τμήματος είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο του τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό. - Δεδομένου ότι οι διαγώνιοι είναι ίσες και τέμνονται κάθετα, το σημείο τομής τους είναι μέσο και των δύο. 4. **Απόδειξη α): Η ΒΔ είναι διχοτόμος των γωνιών Β και Δ** - Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. - Δεδομένου ότι ΑΓ=ΒΔ και τέμνονται κάθετα, το Ο είναι μέσο και των δύο διαγωνίων, δηλαδή: $$BO=OD$$ και $$AO=OG$$ - Από τις ισότητες πλευρών ΒΑ=ΒΓ και ΔΑ=ΔΓ, τα τρίγωνα ΒΑΟ και ΒΓΟ είναι ισοσκελή με βάση ΑΟ και ΓΟ αντίστοιχα. - Επομένως, οι γωνίες $$\angle ABO = \angle GBO$$ και $$\angle ADO = \angle GDO$$ είναι ίσες. - Η ευθεία ΒΔ που περνά από το Ο διχοτομεί τις γωνίες στις κορυφές Β και Δ. 5. **Απόδειξη β): Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ** - Το Ο είναι μέσο του ΑΓ, δηλαδή $$AO=OG$$. - Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα, άρα η ΒΔ είναι κάθετη στην ΑΓ στο σημείο Ο. - Άρα, η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ. **Τελικό συμπέρασμα:** α) Η ΒΔ διχοτομεί τις γωνίες Β και Δ. β) Η ΒΔ είναι μεσοκάθετος του ΑΓ.