1. Να κάνουμε τις πράξεις: - $x(x+1) = x^2 + x$ - $2x(3x - 5) = 6x^2 - 10x$ - $5x(2x^2 - 3x - 1) = 10x^3 - 15x^2 - 5x$ - $-2x^3(3x^2 - 5x) = -6x^5 + 10x^4$ 2. Να κάνουμε τις πράξεις: - $4x(2x^2 - x + 2) - 8x = 8x^3 - 4x^2 + 8x - 8x = 8x^3 - 4x^2$ - $- 5x(2x - 3) - 3x(2 - 3x) = -10x^2 + 15x - 6x + 9x^2 = (-10x^2 + 9x^2) + (15x - 6x) = -x^2 + 9x$ - $2xy(x^2 - 3y^2) - 4x(x^2 y - 2y^3) = 2x^3 y - 6x y^3 - 4x^3 y + 8x y^3 = (2x^3 y - 4x^3 y) + (-6x y^3 + 8x y^3) = -2x^3 y + 2x y^3$ - $1 - 3x(-x + 2) - (x^2 - 3) = 1 - 3x(-x) + 3x(2) - x^2 + 3 = 1 + 3x^2 + 6x - x^2 + 3 = (3x^2 - x^2) + 6x + (1 + 3) = 2x^2 + 6x + 4$ 3. Να κάνουμε τις πράξεις: - $(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$ - $(2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$ - $(2x-3y)(-4x + 2y) = -8x^2 + 4xy + 12xy - 6y^2 = -8x^2 + 16xy - 6y^2$ - $(x^2 - 2x + 4)(x+2) = x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + 4x + 8 = x^3 + 0x^2 + 0x + 8 = x^3 + 8$ - $(2x^2 - 3x - 4)(-3x^2 + x) = -6x^4 + 2x^3 + 9x^3 - 3x^2 - 12x^2 + 4x = -6x^4 + 11x^3 - 15x^2 + 4x$ - $(x^2 - xy + y^2)(x + y) = x^3 + x^2 y - x^2 y - x y^2 + x y^2 + y^3 = x^3 + y^3$ 4. Να κάνουμε τις πράξεις: - $x + (x-1)(x+2) = x + (x^2 + 2x - x - 2) = x + (x^2 + x - 2) = x^2 + 2x - 2$ - $(x+2)(y - 3x) - (x-2)(y + 4x) = (xy - 3x^2 + 2y - 6x) - (xy + 4x^2 - 2y - 8x) = xy - 3x^2 + 2y - 6x - xy - 4x^2 + 2y + 8x = (-3x^2 - 4x^2) + (2y + 2y) + (-6x + 8x) = -7x^2 + 4y + 2x$ - $xy - 2x(x-3y) - (x - y)(2x - y) = xy - 2x^2 + 6xy - (2x^2 - x y - 2x y + y^2) = xy - 2x^2 + 6xy - 2x^2 + x y + 2x y - y^2 = (-2x^2 - 2x^2) + (xy + 6xy + x y + 2x y) - y^2 = -4x^2 + 10xy - y^2$ - $3x(2x - 3)(2 + x) = 3x(4x + 2x^2 - 6 - 3x) = 3x(2x^2 + x - 6) = 6x^3 + 3x^2 - 18x$ - $(x-1)(x + 2)(x - 3) = (x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x - 2x + 6 = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ - $(x^2 - 4x + 4)(x^2 + 4x + 4) - x^2(x^2 - 8) - 16 = (x^2 - 4x + 4)(x^2 + 4x + 4) - x^4 + 8x^2 - 16$ Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο γινόμενο: $$x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 4x^3 - 16x^2 - 16x + 4x^2 + 16x + 16 - x^4 + 8x^2 - 16$$ Απλοποιούμε: $$x^4 - x^4 + 4x^3 - 4x^3 + 4x^2 - 16x^2 + 4x^2 + 8x^2 - 16x + 16x + 16 - 16 = 0$$ 5. Δίνεται $\alpha^4 = 5$ και $\beta^4 = 4$. Να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης: $$(\alpha - \beta)(\alpha^3 + \alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 + \beta^3)$$ Παρατηρούμε ότι: $$(\alpha - \beta)(\alpha^3 + \alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 + \beta^3) = \alpha^4 - \beta^4 = 5 - 4 = 1$$ 6. Να κάνουμε τις πράξεις: α) $(3x - 2y)(3y - 2x) - 6(x + y)(x - y) - xy + 15$ - $(3x - 2y)(3y - 2x) = 9xy - 6x^2 - 6y^2 + 4xy = 13xy - 6x^2 - 6y^2$ - $-6(x + y)(x - y) = -6(x^2 - y^2) = -6x^2 + 6y^2$ Άρα συνολικά: $$13xy - 6x^2 - 6y^2 - 6x^2 + 6y^2 - xy + 15 = (13xy - xy) + (-6x^2 - 6x^2) + (-6y^2 + 6y^2) + 15 = 12xy - 12x^2 + 15$$ β) $(-2x)^2 - 2x(3x^2 - 2x - 1) - (x - 2)$ - $(-2x)^2 = 4x^2$ - $- 2x(3x^2 - 2x - 1) = -6x^3 + 4x^2 + 2x$ Άρα συνολικά: $$4x^2 - 6x^3 + 4x^2 + 2x - x + 2 = -6x^3 + (4x^2 + 4x^2) + (2x - x) + 2 = -6x^3 + 8x^2 + x + 2$$ 7. Απόδειξη ότι το εμβαδόν του σχήματος είναι $y^2$: Το σχήμα είναι ένα U με δύο κάθετες πλευρές μήκους $y$ και βάση μήκους $y$. Το εμβαδόν του σχήματος είναι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς $y$, δηλαδή: $$\text{Εμβαδόν} = y \times y = y^2$$ 8. Απόδειξη ότι το πολυώνυμο που εκφράζει το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι $8x^2 + 20x + 3xy$: Το συνολικό εμβαδόν του μεγάλου ορθογωνίου είναι: $$\text{Μήκος} \times \text{Ύψος} = (2x + y)(4x + 10) = 8x^2 + 20x + 4xy + 10y$$ Το εμβαδόν του μικρότερου ορθογωνίου είναι: $$\text{Μήκος} \times \text{Ύψος} = (x + 10)(y) = xy + 10y$$ Άρα το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι: $$ (8x^2 + 20x + 4xy + 10y) - (xy + 10y) = 8x^2 + 20x + 3xy$$