1. Πρόβλημα (α): Να αποδείξουμε ότι $\alpha^2 + \beta^2 \geq 6\alpha\beta$. 2. Παρατήρηση: Η τυπική μορφή αυτής της ανισότητας δεν ισχύει γενικά, εξετάζουμε την περίπτωση όπου μπορεί να προέρχεται από το τετράγωνο μιας διαφοράς. 3. Έστω ότι θέλουμε να συγκρίνουμε με $2\alpha\beta$. Η γνωστή ανισότητα $\alpha^2 + \beta^2 \geq 2\alpha\beta$ ισχύει πάντα από το $ (\alpha - \beta)^2 \geq 0$. 4. Όμως εδώ έχουμε $6\alpha\beta$, το οποίο είναι μεγαλύτερο από $2\alpha\beta$ αν $\alpha$ και $\beta$ είναι θετικοί. 5. Συμπέρασμα: Η ανισότητα $\alpha^2 + \beta^2 \geq 6\alpha\beta$ ΔΕΝ ισχύει γενικά. --- 1. Πρόβλημα (β): Να αποδείξουμε ότι $\alpha^2 + 16\beta^2 \geq 8\alpha\beta$. 2. Επαναγραφή στην μορφή τετραγώνου: $$\alpha^2 - 8\alpha\beta + 16\beta^2 = (\alpha - 4\beta)^2 \geq 0$$ 3. Επομένως η ανισότητα ισχύει πάντα. --- 1. Πρόβλημα (γ): Να αποδείξουμε ότι $36\alpha^2 + 12\alpha\beta \geq -\beta^2$. 2. Μεταφέρουμε όλα τα μέλη στη μια πλευρά: $$36\alpha^2 + 12\alpha\beta + \beta^2 \geq 0$$ 3. Αναγνωρίζουμε τετράγωνο: $$(6\alpha + \tfrac{\beta}{2})^2 = 36\alpha^2 + 6\alpha\beta + 6\alpha\beta + \tfrac{\beta^2}{4}$$ 4. Προσθέτουμε και αφαιρούμε για να ταιριάξει: $$36\alpha^2 + 12\alpha\beta + \beta^2 = (6\alpha + \beta)^2 - \beta^2 + \beta^2 = (6\alpha + \beta)^2 \geq 0$$ 5. Άρα η ανισότητα ισχύει πάντα. --- 1. Πρόβλημα (δ): Να αποδείξουμε ότι $\alpha^2 + 16 \geq 8\alpha$. 2. Αναδιάταξη: $$\alpha^2 - 8\alpha + 16 \geq 0$$ 3. Αυτό ισοδυναμεί με: $$(\alpha - 4)^2 \geq 0$$ 4. Άρα η ανισότητα ισχύει για κάθε $\alpha$. --- 1. Πρόβλημα (ε): Να αποδείξουμε ότι $5\alpha^2 + 5\beta^2 \geq (\alpha + 2\beta)^2$. 2. Αναπτύσσουμε το δεξιό μέλος: $$(\alpha + 2\beta)^2 = \alpha^2 + 4\alpha\beta + 4\beta^2$$ 3. Μεταφέρουμε: $$5\alpha^2 + 5\beta^2 - \alpha^2 - 4\alpha\beta - 4\beta^2 = 4\alpha^2 - 4\alpha\beta + \beta^2 \geq 0$$ 4. Αναγνωρίζουμε: $$4\alpha^2 - 4\alpha\beta + \beta^2 = (2\alpha - \beta)^2 \geq 0$$ 5. Συμπέρασμα: Η ανισότητα ισχύει πάντα. Τελικές απαντήσεις: (α) Δεν ισχύει γενικά. (β) Ισχύει πάντα. (γ) Ισχύει πάντα. (δ) Ισχύει πάντα. (ε) Ισχύει πάντα.