1. Να κάνουμε τις πράξεις στα πολυώνυμα: α. $ (x + 1)(x^2 - 2x + 4) $ 1. Εφαρμόζουμε την κατανομή (διανομή) του πολλαπλασιασμού: $$x(x^2 - 2x + 4) + 1(x^2 - 2x + 4)$$ 2. Υπολογίζουμε: $$x^3 - 2x^2 + 4x + x^2 - 2x + 4$$ 3. Ομαδοποιούμε όμοια όροι: $$x^3 + (-2x^2 + x^2) + (4x - 2x) + 4$$ 4. Απλοποιούμε: $$x^3 - x^2 + 2x + 4$$ β. $ (3x - 1)(2x^2 - x + 1) $ 1. Εφαρμόζουμε τη διανομή: $$3x(2x^2 - x + 1) - 1(2x^2 - x + 1)$$ 2. Αναπτύσσουμε: $$6x^3 - 3x^2 + 3x - 2x^2 + x - 1$$ 3. Ομαδοποιούμε και απλοποιούμε: $$6x^3 + (-3x^2 - 2x^2) + (3x + x) - 1 = 6x^3 - 5x^2 + 4x - 1$$ γ. $ (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) $ 1. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο: $$x^2(x^2 + x + 1) - x(x^2 + x + 1) + 1(x^2 + x + 1)$$ 2. Υπολογίζουμε: $$x^4 + x^3 + x^2 - x^3 - x^2 - x + x^2 + x + 1$$ 3. Ομαδοποιούμε όμοια: $$x^4 + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2 + x^2) + (-x + x) + 1$$ 4. Απλοποιούμε: $$x^4 + x^2 + 1$$ δ. $ (2x^2 + 3x + 2)(2x^2 - 3x - 2) $ 1. Εφαρμόζουμε τον πολλαπλασιασμό κάθε όρου: $$2x^2(2x^2 - 3x - 2) + 3x(2x^2 - 3x - 2) + 2(2x^2 - 3x - 2)$$ 2. Υπολογίζουμε: $$4x^4 - 6x^3 - 4x^2 + 6x^3 - 9x^2 - 6x + 4x^2 - 6x - 4$$ 3. Ομαδοποίηση και απλοποίηση: $$4x^4 + (-6x^3 + 6x^3) + (-4x^2 - 9x^2 + 4x^2) + (-6x - 6x) - 4$$ $$= 4x^4 - 9x^2 - 12x - 4$$ 2. Να γράψετε τα πολυώνυμα κατά δύναμη του $x$: α. $ A(x) = 3x (x - 1)(2x - 3) $ 1. Πολλαπλασιάζουμε τα πρώτα δύο: $$(x - 1)(2x - 3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3$$ 2. Πολλαπλασιάζουμε με $3x$: $$3x (2x^2 - 5x + 3) = 6x^3 - 15x^2 + 9x$$ β. $ B(x) = -2x (x - 3)(x + 3) $ 1. Παρατηρούμε $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$ 2. Πολλαπλασιάζουμε: $$-2x(x^2 - 9) = -2x^3 + 18x$$ γ. $ 3(x) = (2x - 1)(3x - 2)2x $ 1. Πολλαπλασιάζουμε πρώτα τα δύο: $$(2x - 1)(3x - 2) = 6x^2 - 4x - 3x + 2 = 6x^2 - 7x + 2$$ 2. Πολλαπλασιάζουμε με $2x$: $$2x(6x^2 - 7x + 2) = 12x^3 - 14x^2 + 4x$$ δ. $ 4(x) = (3x + 1)(x - 2)(-5x) $ 1. Πολλαπλασιάζουμε τα πρώτα δύο: $$(3x + 1)(x - 2) = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x^2 - 5x - 2$$ 2. Πολλαπλασιάζουμε με $-5x$: $$-5x(3x^2 - 5x - 2) = -15x^3 + 25x^2 + 10x$$ 3. Να κάνετε τις πράξεις: α. $ (x - 1)(x - 2)(x - 3) $ 1. Πολλαπλασιάζουμε τα δύο πρώτα: $$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$$ 2. Πολλαπλασιάζουμε με το τρίτο: $$(x^2 - 3x + 2)(x - 3)$$ 3. Διανέμουμε: $$x^2(x - 3) - 3x(x - 3) + 2(x - 3) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6$$ 4. Ομαδοποιούμε και απλοποιούμε: $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$$ β. $ (x - 1)(2x^2 - x)(2x + 1) $ 1. Πολλαπλασιάζουμε τα δύο πρώτα: $$(x - 1)(2x^2 - x) = x(2x^2 - x) - 1(2x^2 - x) = 2x^3 - x^2 - 2x^2 + x = 2x^3 - 3x^2 + x$$ 2. Πολλαπλασιάζουμε με το τρίτο: $$(2x^3 - 3x^2 + x)(2x + 1)$$ 3. Διανέμουμε: $$2x^3(2x + 1) - 3x^2(2x + 1) + x(2x + 1) = 4x^4 + 2x^3 - 6x^3 - 3x^2 + 2x^2 + x$$ 4. Ομαδοποιούμε και απλοποιούμε: $$4x^4 + (2x^3 - 6x^3) + (-3x^2 + 2x^2) + x = 4x^4 - 4x^3 - x^2 + x$$