1. Énoncé du problème : Montrer que l'équation différentielle $$y' + 2xy = 1$$ admet une unique solution impaire. 2. Rappel : Une fonction $$y$$ est impaire si et seulement si $$y(-x) = -y(x)$$ pour tout $$x$$. 3. Montrons que si $$y(x)$$ est une solution, alors $$-y(-x)$$ est aussi une solution. 4. Calculons la dérivée de $$-y(-x)$$ : $$\frac{d}{dx}[-y(-x)] = -y'(-x) \cdot (-1) = y'(-x)$$. 5. Substituons dans l'équation différentielle : $$y'(-x) + 2(-x) y(-x) = 1$$ ce qui s'écrit $$y'(-x) - 2x y(-x) = 1$$. 6. Or, si $$y(x)$$ satisfait $$y' + 2xy = 1$$, alors en remplaçant $$x$$ par $$-x$$, on obtient $$y'(-x) + 2(-x) y(-x) = 1$$ soit $$y'(-x) - 2x y(-x) = 1$$. 7. Cela montre que $$-y(-x)$$ satisfait la même équation différentielle que $$y(x)$$. 8. Par unicité de la solution de l'équation différentielle avec condition initiale donnée, on a donc $$y(x) = -y(-x)$$, ce qui signifie que $$y$$ est impaire. 9. Conclusion : L'équation différentielle $$y' + 2xy = 1$$ admet une unique solution impaire.