1. **Énoncé du problème** : On considère l'équation différentielle $y' = 2y$ avec la condition initiale $y(0) = 1$. 2. **a- Écrire le schéma numérique de la méthode d'Euler explicite avec pas $h=0,5$** : Le schéma d'Euler explicite est donné par $$y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n)$$ Ici, $f(t,y)=2y$, donc $$y_{n+1} = y_n + 0,5 imes 2 y_n = y_n + y_n = 2 y_n$$ 3. **b- Effectuer 3 itérations (calcul de $y_1,y_2,y_3$)** : - Condition initiale : $y_0=1$ - $y_1 = 2 y_0 = 2 imes 1 = 2$ - $y_2 = 2 y_1 = 2 imes 2 = 4$ - $y_3 = 2 y_2 = 2 imes 4 = 8$ 4. **c- Donner la condition de stabilité** : La méthode d'Euler explicite est stable si le coefficient d'amplification $|1 + heta| < 1$ où $eta$ est la dérivée par rapport à $y$ de $f$, ici $eta = 2$. Donc, la condition est $$|1 + 0,5 imes 2| = |1 + 1| = 2 < 1$$ Ce qui est faux, donc la méthode n'est pas stable avec $h=0,5$. **Résumé** : - Schéma : $$y_{n+1} = y_n + 0,5 imes 2 y_n = 2 y_n$$ - Itérations : $y_1=2$, $y_2=4$, $y_3=8$ - Condition de stabilité : $|1 + 2h| < 1 ightarrow$ non vérifiée pour $h=0,5$.