1. **Énoncé du problème :** Calculer les puissances active ($P$) et réactive ($Q$) absorbées par deux groupes de moteurs et deux groupes de lampes dans une installation monophasée, puis déterminer la puissance totale, le courant en ligne et le facteur de puissance global. 2. **Formules importantes :** - Puissance active : $P = U \times I \times \cos\phi$ - Puissance réactive : $Q = U \times I \times \sin\phi$ - Relation trigonométrique : $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi}$ - Puissance apparente : $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ - Courant : $I = \frac{S}{U}$ 3. **Données :** - Tension phase : $U = 220$ V - Moteurs M1 : 12 moteurs, $P_{m1} = 4$ kW chacun, $\cos\phi_1 = 0.7$ - Moteurs M2 : 6 moteurs, $P_{m2} = 6$ kW chacun, $\cos\phi_2 = 0.75$ - Lampes 1 : 90 lampes de 100 W - Lampes 2 : 20 lampes de 150 W 4. **Calculs :** **1/ Moteurs M1 :** - Puissance active totale : $$P_{M1} = 12 \times 4 = 48\, \text{kW}$$ - Calcul de $\sin\phi_1$ : $$\sin\phi_1 = \sqrt{1 - 0.7^2} = \sqrt{1 - 0.49} = \sqrt{0.51} \approx 0.714$$ - Puissance réactive totale : $$Q_{M1} = P_{M1} \times \frac{\sin\phi_1}{\cos\phi_1} = 48 \times \frac{0.714}{0.7} \approx 48 \times 1.02 = 48.96\, \text{kVAR}$$ **2/ Moteurs M2 :** - Puissance active totale : $$P_{M2} = 6 \times 6 = 36\, \text{kW}$$ - Calcul de $\sin\phi_2$ : $$\sin\phi_2 = \sqrt{1 - 0.75^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \approx 0.661$$ - Puissance réactive totale : $$Q_{M2} = P_{M2} \times \frac{\sin\phi_2}{\cos\phi_2} = 36 \times \frac{0.661}{0.75} \approx 36 \times 0.881 = 31.72\, \text{kVAR}$$ **3/ Lampes 1 (charge résistive) :** - Puissance active totale : $$P_{L1} = 90 \times 0.1 = 9\, \text{kW}$$ - Puissance réactive : $$Q_{L1} = 0\, \text{kVAR}$$ (lampes résistives, cosφ=1) **4/ Lampes 2 (charge résistive) :** - Puissance active totale : $$P_{L2} = 20 \times 0.15 = 3\, \text{kW}$$ - Puissance réactive : $$Q_{L2} = 0\, \text{kVAR}$$ **5/ Puissances totales :** - Puissance active totale : $$P_{total} = P_{M1} + P_{M2} + P_{L1} + P_{L2} = 48 + 36 + 9 + 3 = 96\, \text{kW}$$ - Puissance réactive totale : $$Q_{total} = Q_{M1} + Q_{M2} + Q_{L1} + Q_{L2} = 48.96 + 31.72 + 0 + 0 = 80.68\, \text{kVAR}$$ **6/ Calcul du courant en ligne et facteur de puissance global :** - Puissance apparente totale : $$S_{total} = \sqrt{P_{total}^2 + Q_{total}^2} = \sqrt{96^2 + 80.68^2} = \sqrt{9216 + 6509.66} = \sqrt{15725.66} \approx 125.36\, \text{kVA}$$ - Courant en ligne (phase) : $$I = \frac{S_{total} \times 1000}{U} = \frac{125360}{220} \approx 570.73\, \text{A}$$ - Facteur de puissance global : $$\cos\phi = \frac{P_{total}}{S_{total}} = \frac{96}{125.36} \approx 0.766$$