1. **Énoncé du problème :** Nous avons un modèle économique de quotas individuels de pêche avec des incitations économiques. Le but est de comprendre et simplifier les équations qui décrivent le profit, l'effort optimal, la demande de quota, et l'équilibre du marché des quotas. 2. **Profit individuel \(\pi_k(t)\) :** La fonction de profit pour un agent \(k\) à un instant \(t\) est donnée par : $$\pi_k(t) = \sum_{i=1}^S p_i H_i(t) - C_k(e_k(t)) - \sum_{i=1}^S m_i(t) \big(q_{i,k} X_i(t) e_k(t) - Q_{i,k}(t)\big)$$ - \(p_i\) est le prix de vente de l'espèce \(i\). - \(H_i(t)\) est la quantité totale pêchée de l'espèce \(i\). - \(C_k(e_k(t))\) est le coût lié à l'effort de pêche \(e_k(t)\) de l'agent \(k\). - \(m_i(t)\) est le prix de location du quota de l'espèce \(i\) au temps \(t\). - \(q_{i,k}\) est la part du quota détenue par l'agent \(k\) pour l'espèce \(i\). - \(X_i(t)\) est la biomasse ou la ressource disponible de l'espèce \(i\). - \(Q_{i,k}(t)\) est le quota détenu par l'agent \(k\) pour l'espèce \(i\). Cette équation exprime que le profit est la recette totale moins les coûts d'effort et les coûts de location des quotas. 3. **Effort individuel optimal \(e_k^*(t)\) :** L'effort optimal est une fonction \(f\) des bénéfices marginaux nets par espèce : $$e_k^*(t) = f\left( \sum_{i=1}^S (p_i - m_i(t)) q_{i,k} X_i(t) ; ... \right)$$ Cela signifie que l'agent ajuste son effort en fonction de la différence entre le prix de vente \(p_i\) et le prix de location du quota \(m_i(t)\), multipliée par sa part de quota et la biomasse disponible. 4. **Demande de quota \(H_i^*(t)\) :** La demande totale de quota pour l'espèce \(i\) est la somme des efforts optimaux pondérés par les parts de quota et la biomasse : $$H_i^*(t) = \sum_{k=1}^N q_{i,k} X_i(t) e_k^*(t)$$ 5. **Équilibre du marché des quotas :** L'équilibre est atteint lorsque la demande totale de quota égale le Total Allowable Catch (TAC) fixé : $$TAC(t) = H_i^*(t)$$ Le prix optimal du quota \(m^*(t)\) s'ajuste pour équilibrer le marché. **Résumé simplifié :** - Chaque agent maximise son profit en choisissant un effort \(e_k(t)\). - Le profit dépend des revenus de la pêche, des coûts d'effort, et des coûts de location des quotas. - L'effort optimal dépend des prix nets (prix de vente moins prix de location) et de la biomasse. - La demande totale de quotas est la somme des efforts optimaux. - Le prix du quota s'ajuste pour que la demande égale l'offre (TAC). Cette modélisation permet de comprendre comment les quotas et les prix influencent les comportements des pêcheurs et l'exploitation durable des ressources.