1. **Énoncé du problème :** Un investisseur étudie la relation entre les rendements des obligations (RDT) et leur maturité (MAT) selon le modèle linéaire : $$RDT_t = \alpha + \beta MAT_t + \varepsilon_t, \quad t=1,\ldots,8$$ On doit répondre à plusieurs questions sur ce modèle. 2. **Type de donnée :** Les données sont des données de panel temporel (série chronologique) car $t$ représente des périodes successives (de 1 à 8). 3. **Signe escompté de $\beta$ :** On s'attend généralement à ce que $\beta > 0$ car les obligations à plus longue maturité ont souvent un rendement plus élevé (prime de risque de durée). 4. **Hypothèse d'homoscedasticité :** C'est l'hypothèse que la variance des erreurs $\varepsilon_t$ est constante pour toutes les observations $t$, c'est-à-dire $$\mathrm{Var}(\varepsilon_t) = \sigma^2, \quad \forall t$$ Cela garantit la validité des tests statistiques classiques. 5. **Estimation des paramètres $\alpha$ et $\beta$ par MCO :** Données : $$\sum RDT_t^2 = 58{,}04, \quad \sum RDT_t MAT_t = 23{,}55, \quad \sum MAT_t^2 = 316{,}875,$$ $$n=8, \quad \sum RDT_t = 2{,}65, \quad \sum MAT_t = 7{,}875$$ Calcul des moyennes : $$\bar{RDT} = \frac{2{,}65}{8} = 0{,}33125, \quad \bar{MAT} = \frac{7{,}875}{8} = 0{,}984375$$ Calcul de $\beta$ : $$\beta = \frac{\sum RDT_t MAT_t - n \bar{RDT} \bar{MAT}}{\sum MAT_t^2 - n \bar{MAT}^2} = \frac{23{,}55 - 8 \times 0{,}33125 \times 0{,}984375}{316{,}875 - 8 \times (0{,}984375)^2}$$ Calculons le numérateur : $$23{,}55 - 8 \times 0{,}33125 \times 0{,}984375 = 23{,}55 - 2{,}610 = 20{,}94$$ Calculons le dénominateur : $$316{,}875 - 8 \times 0{,}969 = 316{,}875 - 7{,}752 = 309{,}123$$ Donc : $$\beta = \frac{20{,}94}{309{,}123} \approx 0{,}0677$$ Calcul de $\alpha$ : $$\alpha = \bar{RDT} - \beta \bar{MAT} = 0{,}33125 - 0{,}0677 \times 0{,}984375 = 0{,}33125 - 0{,}0666 = 0{,}2646$$ 6. **Test de significativité des estimateurs $\alpha$ et $\beta$ au seuil 10% :** Il faut calculer les erreurs standards et les statistiques $t$. Calcul de la somme des carrés des résidus (SCR) : $$\sum RDT_t^2 - \alpha \sum RDT_t - \beta \sum RDT_t MAT_t = 58{,}04 - 0{,}2646 \times 2{,}65 - 0{,}0677 \times 23{,}55$$ $$= 58{,}04 - 0{,}701 - 1{,}594 = 55{,}745$$ Degré de liberté : $n-2=6$ Variance estimée des résidus : $$s^2 = \frac{SCR}{n-2} = \frac{55{,}745}{6} = 9{,}29$$ Erreur standard de $\beta$ : $$SE(\beta) = \sqrt{\frac{s^2}{\sum (MAT_t - \bar{MAT})^2}} = \sqrt{\frac{9{,}29}{309{,}123}} = \sqrt{0{,}030} = 0{,}173$$ Statistique $t$ pour $\beta$ : $$t_\beta = \frac{0{,}0677}{0{,}173} = 0{,391}$$ Valeur critique $t_{0,05,6} = 1{,}943$ (bilatéral 10% → 5% unilatéral) Comme $0{,}391 < 1{,}943$, $\beta$ n'est pas significatif au seuil 10%. Erreur standard de $\alpha$ : $$SE(\alpha) = \sqrt{s^2 \left(\frac{1}{n} + \frac{\bar{MAT}^2}{\sum (MAT_t - \bar{MAT})^2}\right)} = \sqrt{9{,}29 \left(\frac{1}{8} + \frac{(0{,}984)^2}{309{,}123}\right)}$$ $$= \sqrt{9{,}29 \times (0{,}125 + 0{,}0031)} = \sqrt{9{,}29 \times 0{,}128} = \sqrt{1{,}19} = 1{,}09$$ Statistique $t$ pour $\alpha$ : $$t_\alpha = \frac{0{,}2646}{1{,}09} = 0{,243}$$ Comme $0{,}243 < 1{,}943$, $\alpha$ n'est pas significatif au seuil 10%. 7. **Pouvoir explicatif du modèle (coefficient de détermination $R^2$) :** $$R^2 = 1 - \frac{SCR}{SCT}$$ Où $SCT = \sum (RDT_t - \bar{RDT})^2 = \sum RDT_t^2 - n \bar{RDT}^2 = 58{,}04 - 8 \times (0{,}33125)^2 = 58{,}04 - 8 \times 0{,}1097 = 58{,}04 - 0{,}877 = 57{,}163$$ Donc : $$R^2 = 1 - \frac{55{,}745}{57{,}163} = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$$ Le modèle explique environ 2,5% de la variance des rendements. 8. **Coefficient de détermination corrigé $R^2_{adj}$ :** $$R^2_{adj} = 1 - \frac{SCR/(n-2)}{SCT/(n-1)} = 1 - \frac{55{,}745/6}{57{,}163/7} = 1 - \frac{9{,}29}{8{,}166} = 1 - 1{,}137 = -0{,}137$$ $R^2_{adj}$ corrige $R^2$ en pénalisant le nombre de variables. Ici, il est négatif, indiquant un très mauvais ajustement. 9. **Test de significativité globale du modèle au seuil 1% :** Statistique $F$ : $$F = \frac{(SCT - SCR)/1}{SCR/(n-2)} = \frac{(57{,}163 - 55{,}745)/1}{55{,}745/6} = \frac{1{,}418}{9{,}29} = 0{,}153$$ Valeur critique $F_{1,6}^{0,01} = 13{,}74$ Comme $0{,}153 < 13{,}74$, le modèle n'est pas globalement significatif au seuil 1%. 10. **Tableau d'analyse de la variance (ANOVA) :** | Source | Somme des carrés | ddl | Carré moyen | F | |--------------|------------------|-----|-------------|---------| | Régression | 1,418 | 1 | 1,418 | 0,153 | | Résidus | 55,745 | 6 | 9,29 | | | Total | 57,163 | 7 | | | **Interprétation :** Le modèle n'explique pas bien la variation des rendements, les coefficients ne sont pas significatifs, et le pouvoir explicatif est très faible.