1. Estude a dependência e independência linear das matrizes A = [0 1 2], B = [1 2 -3], C = [1 -5 1]. Para verificar se A, B e C são linearmente dependentes, verificamos se existem escalares $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, não todos zero, tais que: $$\alpha A + \beta B + \gamma C = 0$$ Ou seja: $$\alpha [0,1,2] + \beta [1,2,-3] + \gamma [1,-5,1] = [0,0,0]$$ Isso gera o sistema: 1. $0\alpha + 1\beta + 1\gamma = 0$ (primeira componente) 2. $1\alpha + 2\beta - 5\gamma = 0$ (segunda componente) 3. $2\alpha - 3\beta + 1\gamma = 0$ (terceira componente) Resolvendo: Da 1: $\beta = -\gamma$ Substituindo na 2: $\alpha + 2(-\gamma) - 5\gamma = 0 \Rightarrow \alpha - 2\gamma - 5\gamma = 0 \Rightarrow \alpha - 7\gamma = 0 \Rightarrow \alpha = 7\gamma$ Substituindo na 3: $2(7\gamma) - 3(-\gamma) + \gamma = 0 \Rightarrow 14\gamma + 3\gamma + \gamma = 0 \Rightarrow 18\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 0$ Logo, $\gamma=0 \Rightarrow \beta=0$ e $\alpha=0$. Portanto, a única solução é trivial, logo A, B e C são linearmente independentes. 2. Estude a característica da matriz A usando triangulação de Gauss e conclua sobre dependência das linhas e colunas. $$A = \begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & -3\end{bmatrix}$$ Aplicando eliminação: - $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$: $[2,4,1,2] - 2[1,2,-1,3] = [0,0,3,-4]$ - $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$: $[3,6,2,-3] - 3[1,2,-1,3] = [0,0,5,-12]$ Matriz após: $$\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 5 & -12\end{bmatrix}$$ - $L_3 \leftarrow L_3 - \frac{5}{3}L_2$: $[0,0,5,-12] - \frac{5}{3}[0,0,3,-4] = [0,0,0,-\frac{4}{3}]$ Matriz triangular: $$\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{4}{3}\end{bmatrix}$$ Como há 3 pivôs não nulos, as linhas são linearmente independentes. Para as colunas, note que a segunda coluna é combinação linear da primeira (pois as entradas da segunda coluna são múltiplos da primeira), logo as colunas são linearmente dependentes. 3a. Resolva a equação matricial $BI + 2X^T = 2B - 0 + 3A$ para $X$. Dado que $I$ é matriz identidade, $BI = B$. Rearranjando: $$2X^T = 2B + 3A - B = B + 3A$$ $$X^T = \frac{B + 3A}{2}$$ Logo: $$X = \left(\frac{B + 3A}{2}\right)^T$$ 3b. Calcule: $$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 5 & 0 \\ 7 & 1 \end{array}\right]^T + 3 \times \left[\begin{array}{cc}0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & 9 \\ 1 & 0 \end{array}\right]$$ Primeiro, transponha a segunda matriz: $$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 7 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ Multiplicação das matrizes compatíveis: $$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & -3 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & 4 \end{array}\right]$$ tem dimensão 3x4, a transposta da segunda é 2x3, não compatível para multiplicação direta. Parece haver erro na dimensão, pois a multiplicação não é possível. Portanto, não é possível realizar a multiplicação dada as dimensões. 4. Determine $k$ para que as matrizes $$A = \begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$$ sejam permutáveis, ou seja, $AB = BA$. Calculando: $$AB = \begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 3 + 2k \\ 0 & 2\end{bmatrix}$$ $$BA = \begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & k \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 2k + 3 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$$ Igualando $AB = BA$: $$3 + 2k = 2k + 3$$ Essa igualdade é verdadeira para todo $k$, logo as matrizes são permutáveis para qualquer valor de $k$. 5. Classifique o sistema linear: $$\begin{cases} -x + 2y - 4z = 2 \\ 2x + 3y - z = 2 \\ 3x + y + 3z = 0 \end{cases}$$ Montando a matriz aumentada: $$\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & -4 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 0 \end{array}\right]$$ Aplicando eliminação de Gauss: - $L_1 \leftarrow -L_1$: $[1, -2, 4, -2]$ - $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$: $[0, 7, -9, 6]$ - $L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1$: $[0, 7, -9, 6]$ Note que $L_2$ e $L_3$ são iguais, indicando dependência. Subtraindo $L_2$ de $L_3$: $[0,0,0,0]$ Sistema tem 2 equações independentes e 3 variáveis, logo infinitas soluções. Resposta final: 1. A, B e C são linearmente independentes. 2. Linhas de A são independentes; colunas são dependentes. 3a. $X = \left(\frac{B + 3A}{2}\right)^T$. 3b. Multiplicação não possível devido a dimensões incompatíveis. 4. Matrizes são permutáveis para todo $k$. 5. Sistema tem infinitas soluções.