1. Problema: Cal determinar si els subconjunts A, B, C, D, E i F de $\mathbb{R}^2$ són subespais vectorials i, si ho són, trobar-ne una base i la seva dimensió. 2. Anàlisi de cada conjunt: - A = $\{(x,0) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la recta horitzontal que passa per l'origen. \- Verifiquem si és un subespai vectorial: \* Conté el vector zero: $(0,0) \in A$. \* Tancat per suma: Si $(x,0), (y,0) \in A$, aleshores $(x+y,0) \in A$. \* Tancat per multiplicació escalar: Si $\alpha \in \mathbb{R}$ i $(x,0) \in A$, aleshores $(\alpha x,0) \in A$. \- Per tant, A és subespai vectorial. \- Base: $\{(1,0)\}$. \- Dimensió: 1. - B = $\{(x,1) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la recta horitzontal $y=1$, que no passa per l'origen. \- Com que no conté el vector zero, no és subespai vectorial. - C = $\{(x,x) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la recta $y=x$ que passa per l'origen. \- Conté el vector zero: $(0,0) \in C$. \- Tancat per suma i multiplicació escalar per raons similars a A. \- És un subespai vectorial. \- Base: $\{(1,1)\}$. \- Dimensió: 1. - D = $\{(x,-2x) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la recta $y=-2x$ que passa per l'origen. \- Conté el vector zero. \- Tancat per suma i multiplicació escalar. \- És un subespai vectorial. \- Base: $\{(1,-2)\}$. \- Dimensió: 1. - E = $\{(x,x^2) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la paràbola. \- No és tancat per suma ni multiplicació escalar, no és subespai vectorial. - F = $\{(x,x+2) : x \in \mathbb{R}\}$ \- És la recta $y=x+2$ que no passa per l'origen. \- No conté el vector zero. \- No és subespai vectorial. 3. Resum: \- Subespais vectorials: A, C, D. \- Bases i dimensions: \* A: base $\{(1,0)\}$, dimensió 1. \* C: base $\{(1,1)\}$, dimensió 1. \* D: base $\{(1,-2)\}$, dimensió 1.